【摘要】：前面讲的很多分岔都是静分岔，主要集中于平衡点多少的变化。还有一种分岔会使系统的动态行为产生变化，我们称之为动分岔。Hopf 分岔就是动分岔的一种。图2.18Hopf 分岔尺子与轴的夹角是极坐标的角度φ，设尺子均匀转动，即把式和式改为直角坐标形式，得到当λ＜0 时，系统稳定在不动点（0，0）；当λ＞0 时，系统稳定在常态，φ=ω，即当时间趋向无穷大时，系统趋向一个稳定的周期轨道，这一轨道称为极限环［见图2．18］。
前面讲的很多分岔都是静分岔，主要集中于平衡点多少的变化。还有一种分岔会使系统的动态行为产生变化，我们称之为动分岔。Hopf 分岔就是动分岔的一种。
设一单变量ρ 系统
它有一个参量λ。容易看出，当λ＜0 时，系统有一个稳定平衡点ρ=0；当λ＞0时，有两个稳定平衡点
现在设想ρ 是极坐标中距离，即设（x，y）平面上有一可绕原点O 转动的尺子，沿着尺子轨道上有一小球（x，y），小球与原点之间有一条橡皮筋拉着［见图2．18（a）］。当尺子以一定的角速度ω 运动时，小球由于离心力作用，会沿着尺子向离开原点方向运动。由于小球又受橡皮筋的弹性力影响，最后只能平衡在两力相等处。小球运动轨迹就是图2．18（c）中粗黑线画的圆。
图2.18 Hopf 分岔(www.xing528.com)
尺子与轴的夹角是极坐标的角度φ，设尺子均匀转动，即
把式（2-36）和式（2-37）改为直角坐标形式，得到
当λ＜0 时，系统稳定在不动点（0，0）；当λ＞0 时，系统稳定在常态，φ=ω，即当时间趋向无穷大时，系统趋向一个稳定的周期轨道，这一轨道称为极限环（limit cycle）［见图2．18（c）］。系统（2．37）的极限环方程是x2+y2=λ。
免责声明：以上内容源自网络，版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。
