宋元数学思想：中国古代科学哲学

宋元时期所取得的数学思想成就是十分丰富的,这其中主要包括有增乘开方法也即高次方程的解法、天元术和四元术、包括垛积术和招差法在内的高阶等差级数、大衍求一术等等,这些思想是通过宋元时期许多数学家的参与尤其是四大家的深入研究而获得的。

讲宋元时期的数学思想首先不能不提北宋时期的贾宪。贾宪的著作有《黄帝九章算法细草》等,但早已亡佚。其数学思想主要是经由杨辉的引用得存于世。贾宪最主要的贡献就是创立增乘开方法,具体用开方作法图表示,也称“贾宪三角”,用这样的方法可以进行任意高次幂的开方。一般认为,欧洲直到16世纪才由德国人阿皮纳斯得到与“贾宪三角”类似的图表,这比贾宪的研究差不多晚了四五百年。

毫无疑问,宋元时期的数学思想以秦九韶、李冶、杨辉以及朱世杰这四大家最为突出。

秦九韶为南宋普州安岳(今属四川)人,其数学名著是《数书九章》,这是一部数学巨著,在世界数学史上占有十分重要的地位。全书共18卷,分为大衍、天时、田域、测望、赋役、钱谷、营建、军旅、市易九类。其中最重要的成就是高次方程的数值解法,也即增乘开方法。贾宪虽确立了高次方程的解法,但由于有不少问题没有解决,使用仍是受限的。秦九韶在贾宪、刘益等人的基础上,贯彻了随加随乘的原则或方法,使得高次方程的解法不受整数、正负数和未知项次数的限制。这样,秦九韶就将增乘开方法推广成为各种方程都能够适用的一种数值解法。秦九韶的这一方法与19世纪欧洲数学家霍纳的方法相同,但却比霍纳早了六百年。秦九韶的另一项重要成就是“大衍求一术”,也就是联立一次同余式的解法。联立一次同余式的问题最早见于《孙子算经》,但具体算法未作记载,故不得而知。秦九韶在《数书九章》中首次系统介绍了这一算法的计算步骤,并将其运用于不同数学问题的解决之中。在欧洲,直到五百年后才有高斯等人对联立一次同余式问题作较深入的研究。秦九韶的数学思想也反映在他的数学观上。秦九韶以为数学的作用是“大则可以通神明,顺性命;小则可以经世务,类万物”(《数书九章》序)。秦九韶的这一数学观还特别体现在其“数道统一”的思想上,周瀚光将这一思想概括为以下四个方面,分别是:数源于道、数进于道、明道求数以及由数知道。(40)

李冶为金元之际河北真定人,他的数学著作有《测圆海镜》、《益古演段》等,其中尤以《测圆海镜》最为重要。《测圆海镜》共12卷,包含有170个问题,清儒阮元评价该书是“其为术也,广大精微,无所不包”(《重刻测圆海镜细草序》)。《测圆海镜》第一卷主要是讨论直角三角形求内切圆和傍切圆等问题,属于几何学范畴,李冶在此涉及了与几何学相关的一系列概念、定义、定理,并建立起相应的公理系统,与古代希腊欧几里得几何学相比,李冶对几何学的理解有自己鲜明的特点。《测圆海镜》第二卷以下是系统研究和讲述“天元术”,也即求解方程的方法,这是关于“天元术”最早的研究,也是李冶最突出的成就。“天元术”与现代通常教科书中列方程的方法类似,“立天元一为某某”也就是“设x为某某”。也有学者指出,“天元术”乃是几何问题代数化。(41) “天元术”的出现解决了一元高次方程式列方程的问题,也为“四元术”即多元高次方程组奠定了基础,其在中国数学史乃至世界数学史中都有重要地位。同样,李冶也提出了自己的数学观。李冶在《测圆海镜》序中讲:“由技兼于事者言之,夷之礼,夔之乐,亦不免为一技;由技进乎道者言之,石之斤,扁之轮,岂非圣人之所与乎!”李冶要说明的是,其研究数学就是“由技进乎道”,从这里我们可以看到道家思想的影响,也完全符合儒家圣人的要求。李冶又指出“数”中存在着“理”也即规律,而数学研究就是要“推自然之理,以明自然之数”。

杨辉生当南宋后期,杭州人,著作主要有《详解九章算法》、《日用算法》、《杨辉算法》等。杨辉的一个重要研究成果是“垛积术”,也即是高阶等差级数问题。北宋沈括为解决物品(如酒坛、圆球、棋子等)按一定规律堆积起来后求其总数的问题,首创“隙积术”。杨辉丰富和发展了沈括的研究成果,提出了新的垛积公式。对这类高阶等差级数问题,在杨辉之后一般称为“垛积术”。杨辉的另一项重要成果是对纵横图也即幻方的研究。通过研究,杨辉不仅掌握了三阶纵横图也即九宫图的组合规律,还掌握了四阶至十阶纵横图的组合规律,由此打破了其中的神秘性。又在杨辉的著作中,收录了不少现已失传的他人数学著作中的算题与算法,其中就包括早期的增乘开方法或“贾宪三角”,正是由于杨辉的记载,这些算法才得以流传下来。值得注意的是,杨辉不仅是杰出的数学家,也是杰出的数学教育家,其不少数学思想实际上体现在数学教育思想上。如他说:“且未要穷理,但要知如何发问,作如何用法答题,如何用乘除。”(《算法通变本末》)这就是将发问、答题等视作明理的步骤。而作为教育原则,这又是自孔子以来的儒家代代相传的。(www.xing528.com)

朱世杰为河北人,他的最主要数学著作是《四元玉鉴》。该书共3卷,下含24门,288问,主要是讲多元高次方程组解法与高阶等差级数等方面的问题。李冶所创立的“天元术”解决了一元高次方程的列方程问题,而朱世杰的一项突出成果就是将其扩展至多元高次方程组。在《四元玉鉴》中,朱世杰设天、地、人、物四元来求解方程,由此发展出“四元术”即多元高次方程列式与消元解法。由于我国数学家的研究是通过筹算来进行,因此朱世杰的研究实际已经达到了可能达到的极限。朱世杰的创造性成就还包括:“垛积法”即高阶等差数列求和;“招差术”即高次内插法。这些成就同样也已经将宋元数学的相关研究推至最高水平。朱世杰在数学教育普及方面也成果突出,他的《算学启蒙》体系完整,深入浅出。清人罗士琳曾说“汉卿(朱世杰)在宋元间,与秦道古(秦九韶)、李仁卿(李冶)可称鼎足而三。”而“汉卿又兼包众有,充类尽量,神而明之,尤超越乎秦、李之上”(《畴人传续编·朱世杰条》)。另西方科学史家对于朱世杰也有极高的评价,如萨顿就称赞朱世杰是贯穿古今的一位最杰出的数学科学家。

由以上的考察,我们不难看出宋元时期数学思想所达到的高度。

如果将宋元时期的数学思想与汉代以《九章算术》为代表的数学作比较,我们就会感到这二者之间有着明显的区别。数学史专家们早就指出,与汉代《九章算术》注重实际应用不同,宋元数学家们的成就大多比较脱离实际。如中国自然科学史研究室数学组撰写的《宋元数学综述》中就指出,宋元数学的重要成就,如天元术、四元术、高次方程的数值解法、级数求和、招差法等,都严重地脱离当时的社会实际需要。比如天元术,在实际中很少应用。至于多元的高次方程,就更脱离实际。当时所假设的许多勾股问题、垛积问题,大都是由主观出发人为地编造出来的。(42) 李申认为,这里所说的“主观编造”就是指“脱离现实”。这说明当时的数学注意的的确不是数与现实事物的关联,而是数与数的关联。正是这种脱离现实的倾向,使宋元数学达到了中国古代数学发展的最高峰。(43) 而这种区别或差异也明显是与同时期的哲学有关的。因为从与哲学关系的角度来看,宋元时期的数学思想明显受到象数学与理学的影响,受到“道本器末”思想的支配和“技进乎道”思想的引领,这可以说是数学研究更关心“数”本身性质而非具体应用的一个十分根本的原因。同时,这也为我们提供了一个在“抽象”层面科学与哲学相通的典型范例。

进一步拓展开去思考,这种状况也让我们联想到战国时期的逻辑学研究,特别是后期墨家更具有理论与实验色彩的科学研究,那同样存在着一种不太计较现实功利的理论精神,由此我们还可以进一步联想到魏晋时期以王弼为代表的玄学,隋唐时期以唯识宗为代表的佛学。可见,在中国传统文化或精神中,也同样能够生成注重理论的风尚。并且有趣的是,这样一种风尚在哲学、科学以及相关的逻辑学中都出现过,这无疑也是耐人寻味的。因为一般而言,学术界的共识是中国古代科学技术活动更偏重于技术和经验,科学理论相对比较薄弱。就与欧洲科学史的总体比较而言,这种认识无疑是有道理的。但是我们切不可形成一种机械和教条的认识,并由此忽略中国古代科学以及哲学思维的多样性和复杂性。