与《周髀算经》不同,《九章算术》是一部真正或单一意义的数学著作,其共有九章即九个专题,分别是方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股。《九章算术》也是经过长时间的修改、补充,才逐渐发展完备起来的。
《九章算术》的首先一个成就是有关分数运算概念、定义和法则的制定,这包括约分、合分、减分、乘分、经分、课分、平分等。例如约分,这用现代数学术语解释就是分子与分母相约或化简。《方田》中说:“术曰:可半者半之,不可半者,副置分母子之数,以少减多,更相减损,求其等也,以等数约之。”这是说约分的最基本法则就是能简则简。当遇到分子分母均为偶数时,最先考虑的步骤就是“可半者半之”,而“不可半者”则“以少减多,更相减损,求其等也,以等数约之”,这也就是公因子。如此,《九章算术》最早系统地提出了一整套分数运算中的概念、定义以及基本法则。这比起之前《管子》、《淮南子》、《史记》等谈到乐律时所用的分数算法以及《周髀算经》中的分数运算思想都要完整系统得多。而就世界范围的数学史而言,这些法则比欧洲在15世纪后才逐步形成的现代分数算法要早一千四百年左右。除此之外,《九章算术》中的数学思想还包括:“今有术”,即比例思想与计算方法的发明;多位数开平方和开立方法则的建立;“盈不足术”,即盈亏问题解决方法的提出,学者们普遍认为这是中国古代数学的一大发明;联立一次方程解法的运用;“正负术”的运用,即负数概念及其运算方式的提出,等等。(29) 即使从今天来看,《九章算术》的上述内容也包括了现代小学算术的大部分内容和中学数学的一部分内容,即包括了初等数学中算术、代数以及几何的部分内容。
而《九章算术》以上数学思想与方法也有一定的哲学意义。
这首先体现在问题意识上。《九章算术》一书凡二百四十六个问题,涉及田亩计算,农业生产,农作物产量的计算,粟米和布匹的交换,纺织、制瓦、酿酒等手工业生产,徭役、赋税及其平均负担,工程量的计算,还有劳动的分配,运输以及利息、关税,等等,几乎囊括了生产和生活的各个方面,为人们解决这些方面的数学问题提供了方法,列出了示范例题。可以说,提出问题和解决问题,这是贯穿《九章算术》的一条基本线索,也是《九章算术》作者的根本目的。李约瑟就曾指出:“几何学是希腊数学的特征,而代数学则是中国数学的特征;这可能只是一种偶合吗?自汉代以来,中国数学家的全部努力可以概括为一句话:怎样使一个特殊问题适合于某种模式或模型问题,并由此而加以解决。”(30) 吴文俊也指出:中国数学传统是“从问题而不是从公理出发”,这样一种传统是“以解决问题而不是以推理论证为主旨”(31) 。值得注意的是,中国古代哲学尤其是儒家哲学乃以经世致用著称,因此在这之间应当是存在共同的价值和文化取向的。(www.xing528.com)
其次是逻辑方法。吴文俊指出:“我国的古代数学基本上遵循了一条从生产实践中提炼出数学问题,经过分析综合,形成概念与方法,并上升到理论阶段,精炼成极少数一般性原理,进一步应用于多种多样的不同问题。”(32) 这其实就是对《九章算术》的最好概括。又周瀚光根据研究指出,《九章算术》的表述体系在方法上是一个由提出问题到解决问题的归纳过程。全书的归纳过程可以分为三步:第一,先举出某一社会生活领域中的一个或几个个别问题,由此归纳出某一类问题的一般算法;第二,把各类算法再综合起来,精炼出极少数一般性原理,得到解决该领域中各种问题的方法,于是就构成一章;第三,再把解决社会生产、生活各领域中问题的数学方法综合起来,归纳而成整个《九章算术》。并且《九章算术》并未就此结束,其进一步以此为模型来解决具体问题,而这又是从一般到个别的演绎即运用过程。(33) 应当说,这样一些方法无疑都有着相应的逻辑思维的训练或基础,并且它与更大背景中的中国古代哲学重经验归纳的思维也是相吻合的。
要之,《九章算术》的最大特点就是理论不脱离实际,一切从实际问题出发,而不是从抽象的定义和公理出发。以此为基础,在实际的计算方面达到了很高的水平。正是由于这些特点,使得当时中国数学在许多重要方面,特别是解决实际的计算问题方面,远远胜过古希腊的数学体系。后来,正是中国古代数学的这些内容,经过印度和中世纪伊斯兰国家而辗转传入欧洲,对文艺复兴前后世界数学的发展作出了应有的贡献。(34)
免责声明：以上内容源自网络，版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。
