如前所述,《周髀算经》原本是盖天说的理论著作。但是由于要说明天体结构,就必须提供相应的数据,而这些数据的获得最终是建立在一定的数学基础即勾股术上的,这样,《周髀算经》也就同时又是一部数学著作。
《周髀算经》关于数学的认识成果首先体现在其科学的数学观上。《周髀算经》中记载有一段托名周公向商高请教数学起源问题的完整问答。周公问于商高曰:“窃闻乎大夫善数也,请问古者包牺立周天历度,夫天不可阶而升,地不可得尺寸而度,请问数安从出?”商高对曰:
数之法出于圆方,圆出于方,方出于矩,矩出于九九八十一。故折矩,以为句广三,股修四,径隅五。既方其外,半之一矩,环而共盘,得成三、四、五。两矩共长二十有五,是谓积矩。故禹之所以治天下者,此数之所生也。(www.xing528.com)
商高的回答言简意赅,他将数学知识简单概括为“数之法出于圆方,圆出于方,方出于矩,矩出于九九八十一”。也就是说,数学就是几何加算术。我们可以看到,《周髀算经》对于数学知识起源的看法没有一点神秘主义的色彩,也没有因要将其归功于某个历史传说中的圣人或神人而忽略作为知识产生的自然历史属性。《周髀算经》所阐述和强调的实际上是一种实践出知识、实践出数学的观点,包括禹对勾股术的应用其实也是与实践密切相关的。这比起《易传》中对数的看法无疑要高明得多,也显然是一个巨大的进步。由此我们在这里也多少可以看到中国古代科学与哲学之间对于同样问题认识时所存在的一定差异,真正或纯粹科学的看法通常更加客观、真实,而哲学却有可能具有玄想或臆测的性质。
《周髀算经》中最突出的具体数学方法或理论无疑是勾股术。“故折矩,以为句广三,股修四,径隅五”就是讲这种勾股术,也即在一个直角三角形中一定存在勾(短直角边)三、股(长直角边)四、弦(斜边)五的比例关系,换言之,在直角三角形中,3∶4∶5的比例关系是恒定的,如此,人们在知道直角三角形中两条边长的情况下,就能轻而易举地推算出第三条边的边长。具体地,《周髀算经》又谈到“用矩之道”,其共包含有六种方法,分别是平矩、偃矩、覆矩、卧矩、环矩、合矩。虽然说,《周髀算经》将这种方法用于天体所得出的数据并不正确,但它并非是主观臆测的数据,而是实际测量的数据。主观臆测数字的错误与实际测量数据的误差在性质上是完全不同的:前者是向壁虚造的,是荒谬的;而后者则是客观的,是可以修正的。就对勾股方法乃至原理的掌握本身来说,《周髀算经》无疑是科学的,并且将这一方法或原理运用于天文观测,也无疑是典型的科学活动。它所获得的数据的误差只是因为观测工作已大大超出了当时实际掌握知识的范围,也即超出了当时的认识条件。但这些都不妨碍《周髀算经》在理论和方法上的深刻性。除此之外,《周髀算经》的理论成果还包括有“重差术”的发明,有学者将其视作世界范围的测量学的开端,以及关于分数运算和圆周率计算的思想的提出等。(28) 当然,这样的方法并非只具有科学意义,它将在以后宋元时期自然哲学的研究中产生影响。当然,这是后话。
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