《墨经》中的数学思想-中国哲学通史古代科学哲学卷

《墨经》对于数学问题有十分具体的思考,这其中尤以对几何学问题的思考为突出。据研究,《墨经》中直接指称数学以及同数学相关的命题约有30个,集中讨论了基本的数学概念,特别是几何学方面的问题。如关于量、圆、方等的概念,关于点、线、面、体等各种几何要素及其相互关系的考察。例如其关于圆的定义:“圆,一中同长也。”(《经上》)这里的“一中同长”是与现代数学中圆是“对中心一点等距离的点的轨迹”的定义相同的。又如其关于量的概念:“异类不吡,说在量。”(《经下》)这也就是说,量的概念实际是与类的概念或质的概念相对应的,不同类或不同质者不同量。此外,《墨经》中也广泛涉及点、线、面、体等概念。如“体:若二之一,尺之端也。”(《经说上》)这其中“体”即是立体或三维空间,“尺”可解释为“线”,“端”可解释为“点”。

这里涉及一个十分重要的概念,这就是“端”。《墨经》认为:

端,体之无厚而最前者也。(《经上》)

非半弗斫则不动,说在端。(《经下》)

非:斫半,进前取也。前则中无为半,犹端也。前后取,则端中也。斫必半,无与非半,不可斫也。(《经说下》)

这大意是说,如果取一尺而斫之,日取其半,最终一定会到达“非半弗斫则不动”或“前则中无为半”的时候,其“无与非半,不可斫也”,而这个点也就是“端”,也就是所谓“体之无厚而最前者也”。总之,“端”就是物体不可再分割的那个点。《墨经》的这一观点与《庄子·天下》中“一尺之棰,日取其半,万世不竭”这样一种看法是相对立的,这一看法认为物体是可以无限分割的,但《墨经》的看法显然与此相反。(www.xing528.com)

而重要的是,这个“端”究竟是哲学意义上的,还是知识意义上的,究竟是物理学意义上的,还是几何学意义上的。正如李申所指出,近一个世纪以来,“端”究竟是几何学上的点,还是和原子论相当,争论颇多。不少学者认为,《墨经》中对“端”的看法与古代希腊的原子论十分相似,它可看作是我国古代原子论的萌芽。一般来说,从事哲学与物理学的学者可能会持这一看法。但《墨经》的“端”与原子论显然是有所区别的。李申虽也赞同原子说,但其注意到:古希腊哲人不仅认为原子不可分割,而且认为正是原子的集合构成了物。而墨家只是承认了物有不可分割的最小单位存在,如端、小一,却没有把端、小一明确说成建筑物质世界的最小砖块。因此,端、小一在不可分割这一点上说,相当于原子,但墨家却未借此建立起新的质料说,因此未达到原子论。(31) 如此,《墨经》的“端”可能从几何学的意义来解释更加合适。如前所见,《墨经》本身就说:“体:若二之一,尺之端也。”(《经说上》)这说明,“端”实际是从量度的分割意义上来说的。事实上,从学派性质的角度说,这也是与墨家的工匠及其知识特征相适应的。应当看到,古代希腊关于原子的猜测有明显的学者或思辨特征。而墨家则有明显的经验性,这是以其实践知识作为背景的。我们在讨论其思想时应当充分注意其所被赋予的知识特征或背景。尽管从几何学的角度来理解“端”,有可能“降低”“端”这一概念的理论意义,但这很可能更符合客观事实。不仅如此,若从科学作为哲学的基础来看,其将会使墨家理论在整体上获得统一。

在《墨经》中,“体”又称之为“厚”,而“面”则称之为“无厚”,而点、线、面、体这些几何要素实际上都是存在于它们的关系之中的。《墨经》中使用了如下概念来描述这类关系,包括:平、中、直、间、有间、、盈、撄、比、次等,其中一些概念也不仅仅是指数学意义上的关系。这里主要择其中与数学相关者略作考察。平行与垂直是两种极为重要的位置关系,《墨经》对此作了考察,例如“平,同高也。”(《经上》)这是用同样的高低来定义“平”。又如“直,参也。”(《经上》)这是用三点共线来定义“直”。《墨经》还就对称关系下过定义,如:“同长,以正相尽也。”(《经上》)这是两条线段相等的定义。“中,同长也。”(《经上》)这是线段中点的定义,如圆心,由中心至两端,长度均相等。其他又如“有间,中也。”(《经上》)“有间,谓夹之者也。”(《经说上》)这里的“间”是指区间,“夹之者”是指夹于两端的那部分空间。此外,《墨经》对数位关系也已经有了认识,其讲:“一少于二而多于五。”(《经下》)一少于二但多于五,这表明,在不同的位置上,“一”的大小是不同的,在个位上,其小于二,而在十位上,其大于五。这表明《墨经》不仅有十进制的数位概念,并且在理论上对其做了分析。(32) 事实上,《墨经》这种对于“数”的分层思考与其对于“类”的分层思考也是相统一的。

类似这样的思考、定义或命题在《墨经》中还有不少,从这些定义中不难看到墨家学派从事生产或知识实践的影子,当然,这些定义或概念的形成在很大程度上也与墨家的逻辑知识有关。

总体来看,《墨经》的数学思想主要是关于几何学的,这与后来中国数学朝向代数学的发展形成鲜明的对照。遗憾的是,《墨经》这种知识以及样式在以后的中国数学发展中基本丧失了。对比希腊的经验来看,几何学的发展与天文学密切相关,并且其研究群体主要是学者,这担保了其发展的坚实基础以及公理系统的理论性。而这些条件显然是以工匠为主体的墨家所不具备的。墨家的几何学主要是一种基于工匠活动的日用几何学。从这个意义上说,墨家几何学的丧失其实也是必然的。而秦汉以后数学的发展基本是沿着日常生产的方向,注重解决实际问题,这就不存在理论的“担忧”,当然,也没有对抽象理论有相应要求的几何学的生存空间,这是后话,在下一章中还会进一步考察。