行列式的定义及性质-考研数学零基础串讲

行列式的概念和基本性质 行列式按行（列）展开定理

1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质．

2．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．

1.行列式的计算（考点1-4）

这部分计算行列式（代数余子式求和本质上也是计算行列式，如考点4）几乎年年考查小题，核心是展开公式，常用的技巧有化三角形、递推、归纳等．

2.行列式表示的函数（考点5）

这部分可认为是跨学科综合，用行列式表示一个函数，进而讨论它的导数等，由此可引申至高等数学中的各种问题，如求极值等．

3.克拉默法则（考点6）

这部分是行列式的应用，把行列式应用到“方形”方程组上，根据行列式为0或不为0给出方程组解的信息．

行列式是线性代数的一个重要工具，无孔不入，如后续矩阵是否可逆的判定、向量组相关或无关的判定、方程组解的判定、矩阵特征值的求解、二次型正定的讨论等都可借助行列式，故行列式部分必须给予足够重视．

考点1 行列式的定义及性质

1．排列、逆序及逆序数

由n个不同的数1，2，…，n组成的一个有序数组称为一个n级排列，n级排列共有n！个．

在一个排列中，如果一个大的数排在了一个小的数前面，就称这两个数构成了一个逆序．

在一个排列i1i2…in中，逆序的总数称为该排列的逆序数，记为τ（i1i2…in）．

计算τ（i1i2…in）可按照如下方法：i1后面比i1小的数的个数＋i2后面比i2小的数的个数＋…＋in－1后面比in－1小的数的个数（或这样：i2前面比i2大的数的个数＋i3前面比i3大的数的个数＋…＋in前面比in大的数的个数）．如τ（231546）＝3，τ（621534）＝8．

逆序数为奇数的排列，称为奇排列；逆序数为偶数的排列，称为偶排列．

2．行列式的定义

2阶、3阶行列式

（这里拿a12来说，它的第一个下标1称为行下标，第二个下标2称为列下标，以后不再说明）

n阶行列式

对于n阶行列式的定义把握以下两点．

①n阶行列式的每一项是取自不同行、不同列的n个元素的乘积，共n！项，一半带正号、一半带负号．

②当行下标顺排时，每一项的正负号由列下标j1j2…jn的逆序数τ（j1j2…jn）决定，若逆序数为奇数，则此项冠以负号，若逆序数为偶数，则此项冠以正号；或直接分别计算该项（不必事先作行下标顺排操作）行下标和列下标组成的排序的逆序数，由这两个逆序数之和的奇偶性确定该项的正负号．

已知a23a31aija64a56a15是6阶行列式的一项，试确定i，j的值及此项的符号．

解 根据行列式的定义，它是不同行不同列元素乘积的代数和．因此，行下标

2，3，i，6，5，1

应取自1至6的排列，故i＝4．同理可知3，1，j，4，6，5中j＝2．

关于此项所带的符号，可有两种思路．

①将该项按行的自然顺序排列，有a23a31a42a64a56a15＝a15a23a31a42a56a64．

后者列的逆序数为τ（531264）＝4＋2＋0＋0＋1＝7，所以该项应带负号．

②直接计算行的逆序数与列的逆序数，有τ（234651）＋τ（312465）＝6＋3＝9，亦知此项应带负号．

写出4阶行列式中含有因子a11a23的项．

解 设4阶行列式为

由定义：该行列式全部展开共有4！＝24项，每项由不同行、不同列的四个元素相乘，且冠以符号，其中含有因子a11（在第1行）、a23（在第2行）的项，另外两个元素应取自第3行、第4行及第2列、第4列，故为

正负号：因其行下标已经是顺排次序，故正负号取决于列下标的逆序数．故4阶行列式中含有a11和a23的项为

答案a12a23a34a45a51

解析 按照行列式的定义，只需找出不同行、不同列非零元素乘积的所有项即可，第一行的非零元素只有a12，它位于第2列，于是第二行的非零元素不能取第2列，只能取a23．同理看出第3，4两行中不同行、不同列的非零元素只能取a34和a45，最后第5行的元素按照不同列的要求只能取a51，于是该行列式不为0的项是a12a23a34a45a51；最后来确定该项的符号，行下标已顺排，且列下标23451的逆序数4是偶数，于是该项取正号，故

D5＝a12a23a34a45a51．

3．行列式的性质

性质1 行列互换，其值不变．

性质2 两行（列）互换，行列式的值变号．

推论两行（列）相同，行列式的值为0．

性质3 某行（列）有公因子k，则可把k提到行列式外面．

推论（1）某行（列）全为0，行列式的值为0；

（2）某两行（列）元素对应成比例，行列式的值为0．

性质4 某行（列）元素都是两个数之和，则该行列式可拆成两个行列式之和．

以后用r表示行变换，用c表示列变换，如互换1，2两行就是r1↔r2，第2列乘以2就是2c2．

考点2 展开公式及几个重要的行列式(www.xing528.com)

1．余子式、代数余子式

在n阶行列式中，把元素aij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n－1阶行列式叫作元素aij的余子式，记为Mij，Aij＝（－1）i＋j Mij叫作元素aij的代数余子式．

2．展开公式

行列式的值等于它的任意一行（列）元素与其对应的代数余子式乘积之和．

推论行列式“串行（列）展开”值为0．

设4阶行列式的第2列元素依次是2，m，k，3；第2列元素的余子式依次为1，－1，1，－1；第4列元素的代数余子式依次为3，1，4，2；且此行列式的值为1，则m，k的取值为（ ）．

3．几个重要的行列式

（1）主对角线行列式．

（3）拉普拉斯展开式．

如果A和B分别是m阶和n阶方阵，则

考点3 行列式的计算

类型一：利用行列式的性质化简，借助展开公式或借助重要行列式来计算

当行列式的某行（列）非零元素最多只有2个时，应当想到展开公式．另外，本题如果按第1行展开也可以，但没有上述按照第一列展开方便．

答案（D）

解 法1按第1行展开，得

解 法2利用行列式的性质与重要行列式．

解析 第i行提出ai，再把第i行的－1倍加至第1行（i＝2，3，4），得

对于爪型行列式，一般都是把每一行（列）的适当倍数加至第1行（列），将其化为三角形．

行列式恒等变形时，逐行（列）相加是一个重要的思路．

解析 Dn中每行元素之和均为a＋（n－1）b，将第2，3，…，n列加到第1列，则可提出公因子，即

①行列式中每行（列）元素之和相等时，将各列（行）加到第1列（行），然后提出公因子是可取的方法．

②本题的行列式（或矩阵）在考试中多次涉及，其结果值得记住．

类型二：三对角型行列式（用递推或归纳法）

答案2n＋1－2

解析 按第n行展开，有

即建立了递推公式

从而递推得

对这些等式分别用1，x，x2，…，xn－2相乘，然后代入，得到

考点4 代数余子式求和

由于代数余子式Aij的值和元素aij所在的行及列的值都无关，故对第i行的代数余子式的线性之和k1Ai1＋k2Ai2＋…＋knAin的计算只需将原行列式的第i行的元素依次替换为k1，k2，…，kn，然后计算替换后的新行列式即可．（这个新行列式按第i行展开就是k1Ai1＋k2Ai2＋…＋knAin）

答案24

解析 要计算的是第3行元素的代数余子式，故和第3行元素无关．

用A31＋3A32－2A33＋2A34的系数1，3，－2，2代替D中的第3行，则A31＋3A32－2A33＋2A34等于新行列式的值，即

考点5 用行列式表示的函数

设函数列aij＝aij（x）（i，j＝1，2，3）都在I上可导．

以上表明，行列式表示的函数的导数等于分别对每行求导（其他行不变）的行列式之和，也等于分别对每列求导（其他列不变）的行列式之和，这对n阶行列式也成立．

考点6 克拉默法则

（1）对n个方程n个未知数（这是前提）的非齐次线性方程组

式中Di是把D中第i列元素替换为［b1，b2，…，bn］T．

若行列式D＝0，则非齐次方程组无解或有无穷多解，这一点要切记．

（2）对n个方程n个未知数（这是前提）的齐次线性方程组

若D≠0，则齐次方程组只有零解；若齐次方程组有非零解，则D＝0．

以上两个关于齐次方程组的结论实际上反过来也成立，也就是说它们之间是充分必要关系．

已知抛物线y＝a0＋a1x＋a2x2过三点M1（1，0），M2（2，－1），M3（3，0），求抛物线方程．

解 抛物线y＝a0＋a1x＋a2x2过三点M1（1，0），M2（2，－1），M3（3，0），即有

解 以a0，a1，a2为未知量的方程组（*），由克拉默法则得

由于该齐次线性方程组只有零解，故D≠0，得λ≠1．