小波变换算法，快速高效

自从Morlet等人于1982年的地震波研究中首次提出小波变换，小波分析方法得到了迅速地发展，并被广泛应用于非线性信号分析、图像处理、模型识别、自动控制以及各种工程领域中（吴东杰等，2004）。小波变换克服了Fourier变换的不足，能够反映出水文时间序列在时频域上的总体特征以及时频局部化信息，被誉为“数学显微镜”（李华北等，2000；王文圣等，2005；Subasi A等，2005）。

小波变换包括连续小波变换（continue wavelet transform，CWT）和离散小波变换（discrete wavelet transform，DWT）　（王文圣等，2005）。当采用连续小波变换或离散小波变换对水文时间序列f（t）进行小波分析时，所获得的小波系数信息冗余（张文炬等，2001），计算量较大。因此，在实际应用中，多采用快速小波变换算法来计算小波变换系数。著名的快速小波变换算法包括Mallat算法和A Trous算法，本节采用简单、快捷、计算量小的A Trous算法（王文圣等，2005；梁煜峰等，2006；钟平安等，2006；Wegner F V等，2006）。

设对水文时间序列f（t）（t=1，2，…，N）进行小波分解，令C0（t）=f（t），A Trous算法的分解和重构过程如下：

式中　Cj（t）、Wj（t）——在尺度j下的尺度系数（背景信号）和小波系数（细节信号），j=1，2，…，P；(www.xing528.com)

P——尺度数，一般认为至多有lgN［N为序列f（t）的长度］个尺度；

h（k）——离散低通滤波器，滤波器一般选用对称紧支撑三阶B样条，即h（k）=（1/16，1/4，3/8，1/4，1/16）。

称｛W1（t），W2（t），…，WP（t），CP（t）｝为在尺度P下的小波变换序列。