二阶常系数线性微分方程解法

观察式（8.5.1）左端结构特点，发现其为同类型函数，而只有指数函数求导后是同类型函数，故设想函数y=erx的形式为方程（8.5.1）的解，求出y′=rerx，y″=r2erx.将其同时代入方程（8.5.1）有

因erx≠0.故有

由此知，当r是方程r2+pr+q=0的根时，y=erx即为方程y″+py′+qy=0的解.因此称方程（8.5.3）为方程（8.5.2）的特征方程，该特征方程的根即为特征根.

（1）当p2-4q＞0，方程（8.5.3）有两个实根r1，r2.则与为方程（8.5.2）的解.并且不为常数.故方程（8.5.2）的通解为（C1，C2为任意常数）.

（2）当p2-4q=0，方程的根为r1=r2=r，则y=erx是方程（8.5.2）的解，其通解为y=（C1+C2x）erx.

（3）当p2-4q＜0时，方程的根为r=α+βi.则y=e（α+βi）x是方程（8.5.2）的解，其通解为y=eαx（C1cosβx+C2sinβx）.

综上所述，求解二阶常系数线性齐次微分方程解的步骤：

①写出对应的特征方程：r2+pr+q=0.

②求特征根r1 与r2.

③依据特征根情况写出方程通解.

例1 求下列微分方程的通解.

(1)y″-4y′+3y=0;(2)y″-4y′+4y=0;(3)y″+3y=0.

解 （1）对应特征方程为

r2-4r+3=0;

特征根为

r1=3,r2=1,

故通解为

y=C1e3x+C2ex;

（2）对应特征方程为

r2-4r+4=0;

特征根为

r=2,

故通解为

y=(C1+C2x)e2x;

（3）对应特征方程为

r2+3=0,

特征根为

r=±3i,

故通解为

用MATLAB软件求解如下：(www.xing528.com)

例2 设一小汽车以v0速度行驶，任意时刻的加速度与速度的3倍之和等于路程的4倍，试确定该汽车的运动方程.

解 建立微分方程

S″+3S′=4S,

对应的特征方程

r2+3r-4=0,

通解为

S=C1et+C2e-4t.

故

S′=-4C2e-4t+C1et,

S″=16C2e-4t+C1et,

由题意知，初始条件为：

将其代入通解，有

解得

因此，该质点的运动规律为

用MATLAB软件求解如下：

课后提升

常微分方程发展简史

1.求微分方程的通解.

(1)y″-3y′+2y=0;

(2)y″+2y′+y=0;

(3)y″-2y′+4y=0.

2.求微分方程满足初始条件的一个特解.

(1)y″-5y′+4y=0,y|x=0=1,y′|x=0=2;

(2)y″-6y′+9y=0,y|x=0=1,y′|x=0=1.

答案

1.(1)y=C1ex+C2e2x;(2)y=C1e-x+C2xe-x;

(3).

2.(1);(2)y=e3x-2xe3x.