高职应用数学下册-y=f(x,y′)型

作变换y′=m（x），则y″=m′（x），则方程（8.4.2）可变形为m′（x）=f（x，m），式中m（x）即代表未知函数的一阶微分方程，求出m（x）的解.m（x）=φ（x，c），即y′=φ（x，c），则方程（8.4.2）的通解为

例3 求解微分方程y″（1+ex）=exy′的通解.

解 设y′=m（x），则

y″=m′(x).

将y′与y″代入原方程后可得

m′(x)(1+ex)=exm(x),

即

将该方程分离变量得

两端同时积分得

求解得

lnm =ln(1+ex)+lnC,

即

m=C(1+ex ).

从而，有y′=C（1+ex），再对其积分可得原方程的通解为y=C（x+ex）+C1.

MATLAB解法如下：

例4 求解微分方程y″（1+sinx）=y′cosx在y|x=0=1，y′|x=0=2的特解.

解 设y′=m（x），则

y″=m′(x).

将y′与y″代入原方程后可得

m′(x)(1+sinx)=m(x)cosx,

即

两端同时积分可得(www.xing528.com)

lnm =ln(1+sinx)+lnC,

即

m(x)=C(1+sinx),

即

y′=C(1+sinx).

两端同时积分可得

y=C(x-cosx)+C1.

将初始条件y|x=0=1，y′|x=0=2代入y′与y″可得：C=2，C1=3，

该方程的特解为

y=2(x-cosx)+3.

MATLAB解法如下：

课后提升

1.求解下列微分方程的通解.

(1)y‴=sin(-x)-2x;(2)y‴=ex+3.

2.求微分方程满足初始条件的特解.

(1)y″=x+ex,y|x=0=2,y′|x=0=1;

(2).

答案

1.(1);(2).