齐次微分方程与分离变量微分方程

定义2

一般形如

的方程，称为齐次微分方程.

这类方程每一项变量的次数都相同.可采用“变量替换”法进行求解.

变量替换法的求解步骤：

（1）将原方程变形为；

（2）变量替换，令（或y=ux），

对方程y=ux两端求导，得，

代入方程中，得.

（3）分离变量，两端进行不定积分，即

（4）还原变量：求出积分后，再用替换式中的u，即可得所求齐次微分方程的解.

例3 求微分方程xydy=（xy+y2）dx的通解.

解 将原方程变形为

令，则

y=ux,

对y=ux两端求导，得

将其代入原方程中，则

即

分离变量，得

两端积分，得

解得

将代入上式，得

得所给方程通解为

y=xlnCx.(www.xing528.com)

用MATLAB软件求解如下：

例4 求微分方程满足初始条件y|x=1=1的特解.

解 将原式变形为

令，即

y=ux,

对y=ux两端求导，得

代入原方程中，原方程化为

即

分离变量，得

两端积分，得

解得

将及初始条件y|x=1=1代入上式，得C1=e，

所给方程特解为

用MATLAB软件求解如下：

课后提升

1.求微分方程的通解.

(1);(2)y′=3ylnx;(3).

2.求微分方程（2+ex）yy′=2ex满足初始条件y|x=0=4的特解.

3.已知曲线在任意一点处切线的斜率等于这个点横坐标的2倍，并且该曲线过点M（0，4），求该曲线的方程.

答案

1.(1);(2);(3).

2..

3.y=x2+4.