【摘要】：定义2一般形如的方程，称为齐次微分方程.这类方程每一项变量的次数都相同.可采用“变量替换”法进行求解.变量替换法的求解步骤：（1）将原方程变形为；（2）变量替换，令（或y=ux），对方程y=ux两端求导，得，代入方程中，得.（3）分离变量，两端进行不定积分，即（4）还原变量：求出积分后，再用替换式中的u，即可得所求齐次微分方程的解.例3 求微分方程xydy=（xy+y2）dx的通解.解 将原方程变
定义2
一般形如
的方程，称为齐次微分方程.
这类方程每一项变量的次数都相同.可采用“变量替换”法进行求解.
变量替换法的求解步骤：
（1）将原方程
变形为
；
（2）变量替换，令
（或y=ux），
对方程y=ux两端求导，得
，
代入方程
中，得
.
（3）分离变量，两端进行不定积分，即
（4）还原变量：求出积分后，再用
替换式中的u，即可得所求齐次微分方程的解.
例3 求微分方程xydy=（xy+y2）dx的通解.
解 将原方程变形为
令
，则
y=ux,
对y=ux两端求导，得
将其代入原方程中，则
即
分离变量，得
两端积分，得
解得
将
代入上式，得
得所给方程通解为
y=xlnCx.(https://www.xing528.com)
用MATLAB软件求解如下：
例4 求微分方程
满足初始条件y|x=1=1的特解.
解 将原式变形为
令
，即
y=ux,
对y=ux两端求导，得
代入原方程中，原方程化为
即
分离变量，得
两端积分，得
解得
将
及初始条件y|x=1=1代入上式，得C1=e，
所给方程特解为
用MATLAB软件求解如下：
课后提升
1.求微分方程的通解.
(1)
;(2)y′=3ylnx;(3)
.
2.求微分方程（2+ex）yy′=2ex满足初始条件y|x=0=4的特解.
3.已知曲线在任意一点处切线的斜率等于这个点横坐标的2倍，并且该曲线过点M（0，4），求该曲线的方程.
答案
1.(1)
;(2)
;(3)
.
2.
.
3.y=x2+4.
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