可分离变量微分方程解析

源于微分方程的经典曲线

变量分离微分方程的求解

案例1 细菌增长问题

细菌的增长率与总数成正比，如果培养的细菌总数在48h内由100增长为900，那么前24h后总数是多少？

解 由题意细菌的增长率与总数成正比有关系式：

分离变量得：，

两端积分得：y=Cekt（C为任意常数）.

将初始条件y|t=0=100，y|t=48=900，

代入上式有：

求得：，

则细菌数目与时间关系式为：，

故前24h后细菌总数为：.

MATLAB解法如下：

案例2 热力学冷却问题

将室内一支读数为40℃的温度计放到温度为25℃的室外5min后，温度计读数为35℃；利用牛顿冷却定律，试求（1）温度计温度T℃与时间tmin之间的函数关系式.（2）温度计自40℃上升至30℃所需经过的时间.

牛顿冷却定律：物体冷却的速度与物体和周围介质的温差成正比.

解

（1）取t=0为温度计放在室外的初始时刻，设经过tmin后温度计为T℃，即T=T（t），此时温度计变化的速度为.

由牛顿冷却定律有温度计函数T（t）应满足的微分方程为

将方程两端分离变量得

两端积分有(www.xing528.com)

积分后得

化简后，通解即为T=25+Ce-kt（C为任意常数）.

将初始条件

T|t=0=40,

代入上式得

C=15,

所求特解为

T=25+15e-kt.

接下来确定比例常数k，由已知条件t=5，T=35℃，代入特解T=25+15e-kt中，

有

35=25+15e-5k,

解得

k=0.0811.

所以温度计温度T℃与时间tmin之间的函数关系式为

T=25+15e-0.0811t.

（2）温度计自40℃下降至30℃所需经过的时间.

令T=30，代入温度计温度T℃与时间tmin之间的函数关系式得

30=25+15e-0.0811t,

解得所需经过的时间为.

MATLAB解法如下：