高职应用数学：定积分在物理中的应用

7.3.3.1 变力做功

由物理学知道，一个物体在一个不变的力F的作用下，沿力的方向作直线运动，移动的距离为s时，F所做的功为

W=F·s.

但在实际问题中，物体在运动过程中受到的力经常是变化的，这就要考虑变力做功问题.

设物体在变力F=f（x）的作用下，沿x轴正方向从点a移动到点b，且变力的方向与x轴的正向一致.

取积分变量为x，在区间[a，b]上任取一个小区间[x，x+Δx]，在此小区间[x，x+Δx]上变力可以近似的看成常力，从而求得功微元为

dW=f(x)dx.

则在区间[a，b]上变力所做的功为

例1 把一个带+q电量的点电荷放在r轴上坐标原点O处，它产生一个电场.这个电场对周围的电荷有作用力.由物理学知道，若有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点O为r的地方，则电场对它的作用力的大小为

计算当这个单位正电荷在这个电场中从r=a处沿r轴移动到r=b（a＜b）r的地方，电场力对它所做的功.

解 取积分变量为r，在区间[a，b]上任取一个小区间[r，r+Δr]，在此小区间[r，r+Δr]上变力可以近似的看成常力，从而求得功微元为

则，在区间[a，b]上电场力所做的功为

7.3.3.2 压力

定积分在物理上有着广泛的应用，除了前面提到的用定积分计算变力所做的功以外，还可计算压力.

例2 一直径为6m的圆形管道，有一道闸门，管道盛水半满时（图7-41），计算闸门所受的压力.

解 根据题意，建立（图7-41）的直角坐标系.只需求出圆x2+y2=9在第一象限部分所受的压力P，就可得出整个阀门所受的压力.

取积分变量为x，在区间[0，3]上任取一个小区间[x，x+Δx]，由于在相同深度处压强相同，在此小区间[x，x+Δx]上各点的压强等于水的比重×深度，从而求得压力微元为

图7-41

则在区间[0，3]上压力为

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用MATLAB解：

按Enter得到结果为ans=9.

所以整个阀门所受压力为18t.

课后提升

微积分里的爱恨情仇

1.底面半径为3m，高为3m的圆锥形贮水池内装满水，求抽尽其中的水所做的功.

2.一圆柱形的贮水桶高5m，底圆半径为3m，桶内盛满了水.试问要把桶内的水全部吸出需要做多少功？

3.两个小球中心相距r，各带同性电荷Q1与互推斥的力可由库伦定律F=（k为常数）计算.当r=0.50m时，F=0.196N，现两球之间的距离从r=0.75m变为r=1m，求电场力所做的功（精确到0.001J）.

4.有一矩形闸门（图7-42），尺寸如图所示，求当水面超过门顶1m时，闸门上所受的水压力.

5.洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体（图7-43），尺寸如图所示.当水箱装满水时，计算水箱的一个端面所受的压力（精确到0.001J）.

6.某水库的闸门形状为等腰梯形，它的顶宽40m，底宽15m，高8m，计算当水面与闸门顶平齐时，闸门一侧所受的水压力.

图7-42 矩形闸门

答案

1.66150π.

2.约353430（kg·m）.

3.0.016J.

4.1.47×105N.

5.1.73×104N.

6.7.317×106N.

图7-43 洒水车上的水箱