高职应用数学下册：行列式的性质与计算

在n较小时，可以直接用定义去求行列式的值.但对于n较大的行列式，如果按定义去求值，计算量是相当大的.为了简化行列式的计算，我们首先来学习行列式的性质.

6.2.2.1 行列式的性质

设行列式

把D的行依次变成列，并且不改变它们的次序，得到一个新的的行列式

我们把DT称为D的转置行列式.

性质1 行列式D与它的转置行列式DT相等.即D=DT.

性质2 若行列式有两行（列）对应的元素相同，则行列式为0.

性质3 交换行列式两行（列）对应元素的位置，行列式变号.

性质4 若行列式的某一行（列）元素有公因子k，则此公因子可提到行列式符号外面，即.

性质5 若行列式有两行（列）对应元素成比例，则此行列式为0.

性质6 若行列式的某一行（列）元素能表示成两个元素的和的形式，则此行列式可拆成两个行列式的和，即

性质7 把行列式的某一行（列）元素的k倍加到另一行（列）元素上，得到的新行列式和原来的行列式相等.即

6.2.2.2 行列式的计算

有了行列式的性质之后，可以首先利用行列式的性质把行列式化成比较简单的形式（如含有较多的零元素），然后再利用定义求行列式的值.(www.xing528.com)

例1 计算四阶行列式的值.

解 按行列式性质3，第一行与第二行互换，得

再根据性质7，把第一行的各元素分别乘以2，加到第二行上；把第一行的各元素分别乘以-3，加到第三行上；把第一行的各元素分别乘以-2，加到第四行上，得

再把第二行上各元素分别乘以2，加到第三、四行上，使第三行第二列上的上元素为零，第四行第二列上的元素为零，得

再把第三行上各元素分别乘以，加到第四行上去，得

，这时，D4化成三角形行列式，则

.

例2 计算n阶行列式.

解 此行列式的特点是：每一列（行）元素的和是一个定值，利用性质7，我们把行列式的第2，3，…，n列分别乘以1加到第一列得

课后提升

利用行列式的性质计算下列行列式.

答案

(1)-2800;(2)51.