明后两年计划建造教学楼和宿舍楼的建筑材料用量和产品产量

在这一节内容中，我们来学习矩阵的加减法，矩阵的数乘，矩阵的乘法，矩阵的转置等运算.它们在线性代数所讨论的一些问题中有着广泛的应用.

定义1 若两个矩阵A和B具有相同的行数与列数，则称矩阵A和B为同型矩阵；若它们的对应位置元素相等，则称矩阵A和B为相等矩阵，记作A= B.

定义2 设同型矩阵A=（aij）m×n，B=（bij）m×n，矩阵A和B的和记为A+B，规定

即，A+B等于矩阵A与矩阵B对应位置上的元素相加.

例1 设，求A+ B.

解

用MATLAB软件求矩阵加法的程序如下：

在MATLAB的Command Window窗口输入

矩阵加法有如下性质：设A，B，C是3个同型矩阵，则

（1）交换律A+B=B+A；

（2）结合律（A+B）+C=A+（B+C）；

（3）A+O=O+A=A，其中，O是与A同型的零矩阵.

定义3 设同型矩阵A=（aij）m×n，B=（bij）m×n，矩阵A和B的差记为A-B，规定

即，A-B矩阵A与矩阵B对应位置上的元素相减.

例2 设，求A- B.

解

用MATLAB软件求矩阵减法的程序如下：

在MATLAB的Command Window窗口输入

定义4 以实数k乘以矩阵A中的每一个元素后得到的矩阵，称为数k与矩阵A的乘积，简称数乘矩阵.记作kA.即若A=（aij）m×n，则

即，kA就是用k乘以矩阵A中的每个元素.

矩阵的数乘运算满足以下性质：设A，B是2个同型矩阵，k，l是两个为常数，则

（1）1×A=A，0×A=O，k×O=O，其中，O是与A同型的零矩阵；

(2)k(lA)=l(kA)=(kl)A;

(3)k(A+B)=kA+kB;

(4)(k+l)A=kA+lA.

例3 设，求3A.

解

用MATLAB软件求数乘矩阵的程序如下：

在MATLAB的Command Window窗口输入

定义5 设，则规定矩阵A与B的乘积为矩阵C=（cij）m×n，其中，cij为矩阵A的第i行每个元素分别与矩阵B的第j列每个对应元素的乘积之和.即

由此可见，只有当矩阵A的列数与矩阵B的行数相同时，矩阵A与B才能进行乘法运算；矩阵C的行数与矩阵Am×s的行数相同，矩阵C的列数与矩阵Bs×n的列数相同.即取左矩阵的行数，右矩阵的列数作为矩阵C的行数和列数.

数与矩阵计算的异同

例4 设，求A B.

解

用MATLAB软件求矩阵乘积的程序如下：

在MATLAB的Command Window窗口输入

例5 设，求AB，BA.

解

此题说明AB≠BA.

例6 设，求AB，BA.

解

此题说明非零矩阵相乘可以是零矩阵，AB≠BA.

例7 设，求AE和EA.

解 ，

.

此题说明EA=AE.

注意

（1）由以上计算可知，即使矩阵A与B为同型矩阵，AB也不一定等于BA，即矩阵乘法不满足交换律；

（2）若矩阵AB=O，则不一定有A=O或B=O.即若矩阵AB=AC，不一定有B=C；

（3）矩阵乘法不满足消去律.AC=BC，不能消去C而推得A=B；

（4）两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵（如例6）；

（5）矩阵A与和它同阶的单位矩阵E的乘积AE=EA（如例7）.

定义6

矩阵是的转置矩阵，记作AT.

如，矩阵，则.

转置矩阵有如下性质：

(1)(AT)T=A;

(2)(A+B)T=AT+BT;

(3)(kA)T=kAT;

(4)(AB)T=BTAT.

定义7 A为n阶方阵，若存在同阶方阵B，使得AB=BA=E，则称矩阵A为可逆矩阵，矩阵B称为矩阵A的逆矩阵，记为B=A-1.

由上面的定义可知，不是所有的矩阵都存在逆矩阵.如果A不存在逆矩阵，则A称为不可逆矩阵.

可逆矩阵具有以下性质：

（1）若矩阵A可逆，则矩阵A-1是唯一存在的；

（2）若矩阵A可逆，k≠0，则矩阵kA也可逆，且；

（3）若矩阵A可逆，则矩阵A-1也可逆，且（A-1）-1=A；

（4）若矩阵A可逆，则矩阵AT也可逆，且（AT）-1=（A-1）T；

（5）若矩阵A和B为同阶可逆矩阵，则AB也可逆，且（AB）-1=B-1A-1.(www.xing528.com)

下面介绍利用初等行变换求逆矩阵的方法.

具体步骤是：

（1）把方阵A和A的同阶单位矩阵E写成一个n×2n矩阵（A︙E）；

（2）对矩阵（A︙E）进行初等行变换，使虚线的左侧A化成单位矩阵E，虚线右侧E变成A-1，即.

例8 求矩阵的逆矩阵.

解

所以，A的逆矩阵为

用MATLAB软件求逆矩阵的程序如下：

在MATLAB的Command Window窗口输入

例9 求矩阵的逆矩阵.

解

上边最后的矩阵中虚线左侧出现零行，所以A矩阵是不可逆的.

用初等行变换求逆矩阵，把判断矩阵是否可逆与求逆矩阵一次完成，不必先判断矩阵是否可逆.

在MATLAB的Command Window窗口输入出现下列情况.

例10 已知，解矩阵方程AX= B.

解 因为AX=B，

所以A-1AX=A-1B，

EX=A-1B,

X=A-1B,

为了求未知矩阵X，可先求A-1，再做矩阵的乘法运算A-1 B.

所以，

.

用MATLAB软件求未知矩阵X的程序如下：

在MATLAB的Command Window窗口输入

课后提升

1.设矩阵.

且A=B，求元素a，b，c，d的数值.

2.设矩阵.

求-A.

3.已知.

求（1）A+B；（2）；（3）3A- B.

4.已知.

求满足方程3A-X=B中的X.

5.计算下列矩阵乘积.

6.已知：

求AB-BA.

7.将下面各题用矩阵表示，并且用矩阵的运算求出各题的结果.

（1）某厂一、二、三车间都生产甲、乙两种产品，上半年和下半年的产量（t）见表6-10.

表6-10 两种产品的产量 单位：t

求①三个车间全年的产量分别是多少？

②各车间下半年比上半年多生产多少吨？

（2）某校明后两年计划建造教学楼和宿舍楼，建筑面积及材料耗用量见表6-11.

表6-11 建筑面积及材料用量

求明后两年三种建筑材料用量各为多少？

（3）某集团公司的四个生产基地均能生产甲、乙、丙三种产品，其单位成本（元/件）见表6-12.

表6-12 产品的生产成本 单位：元/件

现要求生产甲种产品600件，乙种产品50件，丙种产品200件，问哪个工厂的生产成本最低？

（4）某厂生产五种产品，1～3月份生产产量及产品的单位价格见表6-13.

表6-13 产品的单价及产量 单位：万元

求该厂每个月的总产值是多少？

答案

1.略.

2.略.

3.(1);(2);(3).

4..

5.(1);(2);(3).

6..

7.(1)①.

②;

(2);

（3）第二个生产基地的成本最低；

(4).