模型求解与收敛性多视觉信息

本节对MSG-DNMF算法的目标函数设计了一种优化求解方法，通过多次的迭代更新求解目标函数的局部最优解，并给出求解方法的收敛性证明。

1.MSG-DNMF算法优化求解

如4.4.2节所述，MSG-DNMF算法的目标函数主要由非负矩阵分解项和正则约束项这两部分组成。其中正交约束项可以作为目标函数的约束条件，而‖X‖2F则可以用tr（XX T）进行代替，从而公式（4-53）中的目标函数R可以转化为

对公式（4-54）中的目标函数分别关于V m、P m，Q m和V求导，从而可得

式中，0≤α≤1表示学习率，为了便于计算，这里取α=1。当∇θφ=0或者满足某个阈值条件时，迭代更新终止。这种更新方式的优点在于能够保证参数θ是非负的，非常适用于非负矩阵分解算法的求解。由公式（4-55）、公式（4-56）、公式（4-57）、公式（4-58）可以看出参数V m，P m，Q m，m=1，…，M和V的梯度均满足更新规则。因此，下面基于上述迭代更新的思想对这四类变量进行求解，即固定其他三类变量，然后优化求解另一类变量。

固定P m，Q m和V，更新V m：当P m、Q m和V固定时，公式（4-54）可以转化为(www.xing528.com)

2.收敛性证明

本节利用辅助函数方法对迭代公式（4-61）、公式（4-65）、公式（4-67）和公式（4-68）中的收敛性进行证明。在给出迭代公式的收敛性证明前，先介绍两个相关引理。

引理4.1 对于任何函数F（x），如果存在函数G（x）满足G（x，x′）≥F（x），而且有G（x，x）=F（x），则称G（x，x′）为F（x）的辅助函数，同时F（x）在公式（4-28）中的迭代过程中是非增的。

下面通过自定义的辅助函数证明在迭代公式（4-61）、公式（4-65）、公式（4-67）和公式（4-68）的更新方式下，目标函数最后能够收敛到局部的最小值。

定理4.1 利用公式（4-61）、公式（4-65）、公式（4-67）和公式（4-68）迭代求解V m、P m、