MATLAB软件模拟抛硬币试验与观察频率变化

例B．2．1　在例1．2．3中的有关画图和计算．

图B-1　N（0，1）的密度函数和分布函数曲线

图B-2　标准正态分布的直方图

说明在B-1中，“◦”表示标准正态分布的密度函数，“*”表示标准正态分布的分布函数．

例B．2．8　中国改革开放30年来的经济发展，使人民的生活水平得到了很大的提高，不少家长都觉得孩子这一代的身高比上一代有了明显变化．表B-5是近期在一个经济比较发达的城市中学收集到的17岁的男生身高数据（单位：cm）．若表B-5中的数据来自正态分布，请根据表B-5中的数据，计算学生身高的均值和标准差的点估计（极大似然估计）和置信水平为0．95的区间估计．

解　输入命令

x1＝［170．1，179．0，171．5，173．1，174．1，177．2，170．3，176．2，163．7，175．4］；

x2＝［163．3，179．0，176．5，178．4，165．1，179．4，176．3，179．0，173．9，173．7］；

x3＝［173．2，172．3，169．3，172．8，176．4，163．7，177．0，165．9，166．6，167．4］；

x4＝［174．0，174．3，184．5，171．9，181．4，164．6，176．4，172．4，180．3，160．5］；

x5＝［166．2，173．5，171．7，167．9，168．7，175．6，179．6，171．6，168．1，172．2］；

x＝［x1，x2，x3，x4，x5］；

［mu sigma muci sigmaci］＝normfit（x，0．05）

运行结果为

mu＝172．7040，sigma＝5．3707，muci＝（171．1777，174．2303），sigmaci＝（4．4863，6．6926）

表B-5　学生的身高

说明　把表B-3中pdf换成fit即为相应总体参数估计的函数．如对于正态总体，其命令格式为［mu sigma muci sigmaci］＝normfit（x，alpha）．

其中，x是样本观察值，1-alpha是置信水平（alpha的默认值时设定为0．05），输出mu和sigma是总体均值μ和标准差σ的点估计（极大似然估计），muci和sigmaci是总体均值μ和标准差σ的区间估计．

例B．2．9　（1）检验例B．2．8中男生身高的数据（见表B-5）是否来自正态分布．（2）已知30年前同一所学校同龄男生的平均身高为168cm，为了回答学生身高是否发生了变化，作假设检验：H 0∶μ＝168，H 1∶μ≠168（显著性水平α＝0．05）．

解　（1）若已经输入了例B．2．8中男生身高的数据x．

输入命令

h1＝jbtest（x）

运行结果为h1＝0

注　h1＝jbtest（x）是数据x服从正态分布检验的输入命令，h1＝0表示通过了数据的正态性检验．

这也说明了在例B．2．8中“男生身高的数据来自正态分布”是合理的．(www.xing528.com)

（2）输入命令

［h，sig，ci］＝ttest（x，168，0．05）

运行结果为

h＝1，sig＝1．1777e-007，ci＝（171．1777，174．2303）

以上结果表明，拒绝了H 0，表明学生的平均身高比30年前发生了显著变化．

说明　在总体方差σ2未知时，用t检验法，其命令格式为

［h，sig，ci］＝ttest（x，mu，alpha）

其中，h为一个布尔值，h＝0表示在显著性水平为alpha下可以接受H 0，h＝1表示在显著性水平为alpha下可以拒绝H 0；sig是t统计量在H 0成立时的概率；ci是均值的置信水平为1-alpha的置信区间；x为样本数据，mu为H 0中的μ0，alpha为显著性水平．

联系第8章中“检验的p-值”，sig即为p．所以，当α＝0．05＞1．1777e-007＝sig时，拒绝H 0（其中1．1777e-007＝1．1777×10-7）．

根据第8章中“置信区间与假设检验的关系”，由于168∉（171．1777，174．2303），所以，在显著性水平α＝0．05时，拒绝H 0．

例B．2．10　在例5．1．5中的有关计算．

运行结果为0．34132910997617．

同样，在以上程序中，n取100000，其计算结果见例5．1．5．

例B．2．11　在例1．2．1中曾给出了一些学者关于抛硬币试验的结果．从例1．2．1中我们知道，抛一枚质地均匀硬币的试验，出现正面的次数是0．5．如果做n次抛硬币试验，出现正面的次数是k，则出现正面的频率是k／n．根据伯努利大数定律，出现正面的频率k／n依概率收敛于0．5（出现正面的概率）．这是理论上的结果，那么如何通过模拟抛硬币试验来计算呢？现在我们用MATLAB软件模拟抛硬币试验，并观察随着试验次数的增加，出现正面的频率如何变化？

解　模拟抛硬币试验的MATLAB程序如下

运行结果为0．491 0．

以上是对n＝1 000进行的计算，同样地可以得到n取其他值的结果．

对于n＝50，100，1 000，10 000，100 000，可得k／n和|k／n-0．5|的计算见表B-6．

表B-6模拟抛硬币试验结果

从上表可以看出，随着n的增大，k／n越来越接近于0．5，|k／n-0．5|越来越接近于0．

例B．2．12　在例7．1．5中，用MATLAB软件产生容量n＝50时P（λ）（λ＝5）的随机样本x 1，x 2，…，x 50，并求参数λ的极大似然估计值．

解　用MATLAB软件产生容量n＝50时P（λ）（λ＝5）的随机样本x 1，x 2，…，x 50，并求参数λ的极大似然估计值，其MATLAB程序如下：

说明　由于样本的随机性，每次运行的结果可能会有差异．