回归方程显著性检验结果

前面用最小二乘法给出了回归系数的最小二乘估计，并由此给出了回归方程．但回归方程并没有事先假定与x一定存在线性关系．对于变量x与Y的任意一组观测数据（x i，y i），i＝1，2，…，n，都可以求出一条回归直线方程＝＾a＋＾bx，但这两个变量之间是否真的存在线性关系？如果数学模型Y＝a＋bx＋ε中b＝0，说明x对Y没有影响，自然Y与x之间没有线性关系，这样其回归直线方程就没有意义了；如果b≠0，则说明Y与x之间存在线性关系．因此，首先提出待检验的原假设H 0：b＝0．

关于检验H 0的方法，常用的有F检验法，t检验法和相关系数检验法，以下分别介绍．

9．1．3．1　F检验法

为了寻找检验H 0的方法，将x对Y的线性影响与随机波动引起的变差分开．记，称它为观察值y 1，y 2，…，y n的离差平方和．

反映了观察值y i（i＝1，2，…，n）总的分散程度，对进行分解，得到

式中，．可以证明，上式最后一项等于零，由此得

式中,

叫做回归平方和，由于，所以是回归值的离差平方和，它反映了的分散程度，这种分散程度是由于Y与x之间线性关系引起的.叫做残差平方和，它反映了y i与回归值的偏离程度，它是x对Y的线性影响之外的其余因素产生的误差．

回归平方和占离差平方和的比例称为判定系数（coefficient of determination），也称决定系数，记作R 2，其计算公式为

判定系数（或决定系数）R 2可以用于检验回归直线对数据的拟合程度．如果所有观测点都落在回归直线上，则残差平方和0，此时，于是R 2＝1，拟合是完全的；如，则R 2＝0．可见R 2∈［0，1］．R 2越接近1，回归直线的拟合程度越好；R 2越接近0，回归直线的拟合程度越差．

可以证明，在H 0成立时，有统计量

如果Y与x之间线性关系显著，则的值较大，因而F的值也较大；反之，如果Y与x之间线性关系不显著，则的值较小，因而F的值也较小．所以，我们可以根据F值的大小来检验H 0是否成立．

对于给定的显著性水平α，拒绝域为W＝｛F＞Fα（1，n-2）｝．即，如果F＞Fα（1，n-2），则拒绝H 0，即可以认为Y与x之间线性关系显著；反之，则不能拒绝H 0，即可以认为Y与x之间不存在线性关系，或线性回归方程无意义．

在计算F的值时，常用到下列公式,

例9．1．3　在硝酸钠的溶解试验中，测得在不同温度x下，溶解于100份水中的硝酸钠的份数y的数据见表9-3，（1）求y关于x的线性回归方程；（2）在显著性水平α＝0．05下，检验（1）中回归方程的显著性．

表9-3　试验数据

解　（1）现在n＝9，为了求线性回归方程，所需计算列在表9-4中．

表9-4　有关计算

根据表9-4，得L xx＝4060，L xy＝3535．3，(www.xing528.com)

于是，得到回归直线方程

（2）对于给定的显著性水平α＝0．05，提出假设H 0：b＝0．

对于给定的显著性水平α＝0．05，查F分布表得Fα（1，n-2）＝F 0．05（1，7）＝5．59，所以F＝3330．8＞5．59＝Fα（1，n-2），则拒绝H 0，即在显著性水平α＝0．05下，可以认为线性回归方程有显著意义．

9．1．3．2　t检验法

可以证明

对于给定的显著性水平α，拒绝域为．即，如果|t|＞，则拒绝H 0，可以认为Y与x之间线性关系显著；反之，则不能拒绝H 0，即可以认为Y与x之间不存在线性关系，或线性回归方程无意义．

根据例6．2．4，若t～t（n），则t 2～F（1，n），所以F检验法和t检验法在本质上是相同的．

例9．1．4　某职工医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量x mg／L与消化系统读数y的结果见表9-5．

表9-5　尿汞数据

假定Y与x服从一元线性回归模型．（1）建立y对x的回归方程，并计算σ2的估计值；（2）在显著性水平α＝0．05下，检验y与x是否存在显著线性关系．

解　根据表9-5，所需计算列表见表9-6．

表9-6　有关计算

9．1．3．3　相关系数检验法

根据第4章知，相关系数的大小可以表示两个随机变量线性关系的密切程度．对于线性回归中的变量x与Y，其样本的相关系数为

给定显著性水平α，查相关系数表（见书末附录C的附表6）得rα（n-2），根据试验数据（x i，yi）（i＝1，2，…，n）计算r的值，当|r|＞rα（n-2）时，则拒绝H 0，即可以认为Y与x之间线性关系显著；反之，当|r|≤rα（n-2）时，则不能拒绝H 0，即可以认为Y与x之间不存在线性关系，或线性回归方程无意义．

可以证明F检验法和相关系数检验法本质上是相同的（证明从略），因此，F检验法，t检验法和相关系数检验法本质上都是相同的．

例9．1．5　在例9．1．3中，由于L xx＝4060，L xy＝3535．3，L yy＝3537．4，则r．查相关系数表得rα（n-2）＝r 0．05（7）＝0．6664＜0．932738＝|r|，因此在显著性水平α＝0．05时，拒绝H 0，即可以认为y与x是线性相关显著的（这个结果与例9．1．3相同）．在例9．1．4中，由于L xx＝40，L xy＝1478，L yy＝54649．2，则查相关系数表得rα（n-2）＝r 0．05（3）＝0．8783＜0．99966＝|r|，因此在显著性水平α＝0．05时，拒绝H 0，即可以认为y与x是线性相关显著的（这个结果与例9．1．4相同）．