单个总体均值检验方法，在概率论与数理统计（第5版）中的应用

（1）σ2已知，关于μ的检验

此种情形在8．1节中已经讨论过了．

（2）σ2未知，关于μ的检验

设总体X～N（μ，σ2），其中μ和σ2为未知，X 1，X 2，…，X n是来自X的样本，给定显著性水平α，我们求检验问题

的拒绝域．

由于σ2未知，所以现在不能来确定拒绝域．我们知道样本方差S 2是σ2的无偏估计，自然想到用S代替σ，采用作为检验统计量．

当观察值过分大时，就拒绝H 0，拒绝域的形式为|t|＝．根据定理6．2．3，当H 0为真时．根据P｛当H 0为真时拒绝，即拒绝域为

上述利用t统计量得出的检验法，称为t检验法．

关于正态总体N（μ，σ2）均值μ检验的拒绝域，见表8-3．

表8-3　一个正态总体均值的检验（显著性水平为α）

(www.xing528.com)

续表

从表8-3的拒绝域可以看出：右边检验的拒绝域在临界点（za或t a（n-1））的右边，左边检验的拒绝域在临界点（-za或-ta（n-1））的左边，双边检验的拒绝域在两个临界点构成区间的外面．

例8．2．1　根据某地环境保护法的规定，倾入河流的废水中某种有毒化学物质的平均含量不得超过3mg／kg．该地区环境保护组织沿河各厂进行检查，连续测得某厂15天倾入河流的废水中某种有毒化学物质的含量如下：3．1，3．2，3．3，2．9，3．5，3．4，2．5，4．3，2．9，3．6，3．2，3．0，2．7，3．5，2．9．若废水中该种有毒化学物质的含量服从正态分布，问在显著性水平α＝0．05下，该厂是否符合环保规定？

解　按题意需检验假设

根据表8-2知，此检验问题的拒绝域为

现在n＝15，t 0．05（14）＝1．7613．又根据样本观察值，得＝3．2，s＝0．436，则

因此，t落在拒绝域中，即在显著性水平α＝0．05下拒绝H 0，所以可以认为该厂不符合环保规定．

“原假设H 0和备择假设H 1”不是对称的，一般情况下原假设是受到“保护”的．在单边（右边或左边）假设检验中，如何选择原假设H 0和备择假设H 1是一个需要注意的问题．在“工科‘概率统计’教学中的几个问题Ⅱ”中（韩明：高等数学研究，2009）提出了一个选择的办法：使根据样本观察值计算的统计量的值（如z，t等）与临界点（如zα，-zα，tα（n-1），-tα（n-1）等）位于同侧（同大于0或同小于0），这样得出的结论容易解释，也就容易被人们接受．