正态总体均值差与方差比的置信区间

设已给定置信水平为1-α，并设X 1，X 2，…，Xn 1和Y 1，Y 2，…，Y n2分别是两个正态总体的样本，且这两个样本相互独立．，分别为两个样本的均值，分别为两个样本的方差．

7．3．3．1　两个总体均值之差μ1-μ2的置信区间

（1）均为已知

由于，分别为μ1，μ2的无偏估计，所以-为μ1-μ2的无偏估计．由，的独立性以及得

与一个总体均值的置信区间类似，得μ1-μ2的置信水平为1-α的置信区间

（2），但σ2为未知

此时，根据定理6．2．4知

由此得μ1-μ2的置信水平为1-α的置信区间

式中，

例7．3．4　2003年某地区分行业调查职工平均工资情况，已知体育、卫生、社会福利事业单位职工工资（单位：元）X～N（μ1，2182）；文教、艺术、广播事业单位职工工资（单位：元）Y～N（μ2，2272）．从总体X中调查25人，得到平均工资为1286元，从总体Y中调查30人，得到平均工资为1272元，求这两大行业职工平均工资之差的置信水平为0．99的置信区间．

解　按实际情况，可以认为分别来自两个总体的样本是相互独立的．又两个总体的方差已知，根据式（7．3．9）可得总体均值之差μ1-μ2的置信水平为0．99的置信区间．

已知，代入式（7．3．9），得μ1-μ2的置信水平为0．99的置信区间为

由于这个置信区间包含0，在实际中我们就可以认为这两大行业职工平均工资没有显著差异．

例7．3．5　为比较Ⅰ，Ⅱ两种型号步枪子弹的枪口速度，随机地取Ⅰ型子弹10发，得到枪口速度的平均值为1＝500m／s，标准差s 1＝1．10m／s，随机地取Ⅱ型子弹20发，得到枪口速度的平均值为 2＝496m／s，标准差s 2＝1．20m／s．假设两总体都服从正态分布，且由生产过程可以认为方差相等．求两总体均值差μ1-μ2的置信水平为0．95的置信区间．

解　按实际情况，可以认为分别来自两个总体的样本是相互独立的．又假设两个总体的方差相等，根据式（7．3．10）可得总体均值之差μ1-μ2的置信水平为0．95的置信区间．(www.xing528.com)

已知1-α＝0．95，α／2＝0．025，n 1＝10，n 2＝20，n 1＋n 2-2＝28，t 0．025（28）＝2．0484，sw＝1．1688，代入式（7．3．10），得μ1-μ2的置信水平为0．95的置信区间为

由于这个置信区间的下限大于零，在实际中我们可以认为μ1比μ2大．

7．3．3．2　两个总体方差之比的置信区间（μ1，μ2未知情形）

此时根据定理6．2．4知

并且F（n 1-1，n 2-1）不依赖于任何参数，由此得

于是，得置信水平为1-α的置信区间为

例7．3．6　研究机器A和机器B生产的钢管的内径，随机抽取机器A生产的钢管18根，测得样本方差；抽取机器B生产的钢管13根，测得样本方差．设两个样本独立，且由机器A和机器B生产的钢管的内径分别服从正态分布未知）．试求方差之比的置信水平为0．9的置信区间．

由于的置信区间包含1，在实际问题中我们可以认为σ21和σ22没有显著差别．

两个正态总体均值之差和方差之比的置信区间，见表7-2．

表7-2　两个正态总体均值之差和方差之比的置信区间（置信水平为1-α）

习题7．3．5详解