有效性与一致性：概率论与数理统计

现在来比较参数θ的两个无偏估计量和，如果在样本容量相同的情况下，1的观察值比2更密集在真值θ的附近，我们就认为比理想．由于方差是随机变量的取值与其数学期望的偏离程度的度量，所以无偏估计量以方差小者为好，这就引出了有效性这个概念．

定义7．2．2　设和都是θ的无偏估计量，若对于任意的θ∈Θ，有D（）＜D（），则称比有效．

例7．2．4　设X 1，X 2，…，X n是总体X的样本，且总体均值E（X）＝μ和方差D（X）＝σ2存在，证明当n＞1时，μ的无偏估计量比μ的无偏估计量X 1有效．

证明　由于，所以当n＞1时，D（X 1）＝，即比X 1有效．

无偏性和有效性都是在样本容量n固定的前提下给出的．我们自然希望随着样本容量的增大，一个估计量的值稳定于待估参数的真值．这样，估计量又有下述一致性的要求．

定义7．2．3　设（X 1，X 2，…，Xn）为参数θ的估计量，当n→＋∞时，（X 1，X 2，…，Xn）依概率收敛于θ，则称为θ的一致性估计量（或相合估计量），有时也简称为一致估计量．(www.xing528.com)

即，对于任意的ε＞0，有

则称为为θ的一致估计量．

例7．2．5　设X 1，X 2，…，Xn是来自总体X的样本，是样本均值，证明：是总体均值E（X）的一致估计量．

证明　根据定理5．1．2（切比雪夫大数定律），在，即样本均值依概率收敛于总体均值E（X）．

根据一致估计量的定义，样本均值是总体均值E（X）的一致估计量．