概率论与数理统计-统计量与样本矩

样本是统计推断的依据，但在实际问题中，往往不是直接使用样本本身，而是针对不同的问题构造适当的样本的函数，利用这种样本的函数来进行统计推断．

定义6．1．3　设X 1，X 2，…，X n是来自总体X的一个样本，g（X 1，X 2，…，Xn）是X 1，X 2，…，Xn的函数，若g不含未知参数，则称g（X 1，X 2，…，Xn）是一个统计量．设x 1，x 2，…，x n为X 1，X 2，…，X n的样本观察值，则g（x 1，x 2，…，x n）是统计量g（X 1，X 2，…，X n）的观察值．

设X 1，X 2，…，X n是来自总体X的一个样本，x 1，x 2，…，x n为样本观察值．以下给出几个常用的统计量的定义：

样本均值

样本方差

样本标准差

样本k阶原点矩

样本k阶中心矩(www.xing528.com)

它们的观察值分别为：

这些观察值仍分别称为样本均值、样本方差、样本标准差、样本k阶原点矩、样本k阶中心矩．

若总体X的k阶矩存在，记为E（X k）＝μk，则当n→＋∞时，1，2，…．这是因为X 1，X 2，…，Xn相互独立且与总体X同分布，所以相互独立且与X k同分布．所以，根据第5章的辛钦大数定律（定理5．1．4）知,．根据第5章中关于依概率收敛的序列的性质知道．这一结果就是第7章中要介绍的矩估计法的理论根据．

例6．1．3　设X 1，X 2，…，X n是来自总体X的样本，且总体均值E（X）＝μ，总体方差D（X）＝σ2，求E（），D（），E（S 2）．

解　根据样本的独立性、同分布性以及数学期望和方差的性质，有

例6．1．4　从正态总体N（μ，25）中抽取容量为16的样本，求样本均值与总体均值μ之差的绝对值小于2的概率．

解　根据样本的性质知，是n个相互独立的正态随机变量的线性组合，则服从正态分布．根据例6．1．3，有，则