棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理

定理5．2．2（De Moiver-Laplace中心极限定理）设随机变量Y n（n＝1，2，…）服从参数为n和p（0＜p＜1）的二项分布，则对于任意的x，有

证明　根据例4．2．6知，可以将Y n分解成n个相互独立、服从同一0-1分布的诸随机变量X 1，X 2，…，Xn的和，即其中，X k（k＝1，2，…，n）的分布律为

由于E（X k）＝p，D（X k）＝p（1-p），k＝1，2，…，n，根据定理5．2．1，得

定理5．2．2说明，当n充分大时，二项分布的标准化随机变量近似服从标准正态分布．即当n充分大时，有

这样，在实际中当n充分大时，可以利用式（5．2．2）来近似计算二项分布的概率．(www.xing528.com)

例5．2．3　设｛X i（i＝1，2，…）｝是一些相互独立同分布的随机变量，且它们都服从0-1分布B（1，p），根据例4．2．6我们知道服从二项分布B（n，p）．随着n的增加（n＝2，5，10，15，20），二项分布B（n，0．5）将如何变化？二项分布B（n，0．5）的标准化随机变量又将如何变化？

解　当n＝2，5，10，15，20时，二项分布B（n，0．5）的分布律折线图如图5-3所示．

图5-3　二项分布B（n，0．5）的分布律折线图

从图5-3可以看出，二项分布B（n，0．5）的分布律折线图随着n的增加（2→5→10→15→20）越来越接近正态分布密度函数的形状．即当n较大时，二项分布B（n，0．5）近似服从正态分布，因此二项分布B（n，0．5）的标准化随机变量近似服从标准正态分布．这就直观地验证了定理5．2．2（棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理）．

例5．2．4　设在某保险公司的索赔户中，因被盗索赔者占20%，求在200个索赔户中因被盗而索赔的户数在25到55的概率．

解　用Xn表示在200个索赔户中因被盗而索赔的户数，根据题意Xn～B（200，0．2），且E（Xn）＝np＝40，D（X n）＝np（1-p）＝32＝5．662，根据定理5．2．2（棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理），所求的概率为