随机变量独立性-概率论与数理统计

由于在绝大多数情况下，概率论与数理统计是以独立随机变量为研究的主要对象，因此，随机变量的独立性是一个非常重要的概念．随机变量的独立性是事件的独立性的一个推广．

定义3．3．1　设F（x，y），F X（x），FY（y）分别为二维随机变量（X，Y）的分布函数及边缘分布函数，若对于任意的实数x，y，有

即

则称随机变量X和Y相互独立．

由于概率密度函数和分布律分别反映了连续型和离散型随机变量的概率性质，因此，根据定义3．3．1可以得到如下定理（这里只叙述，其证明见：何书元，《概率论与数理统计》）．

定理3．3．1　（1）设（X，Y）为连续型随机变量，则X和Y相互独立的充分必要条件是对于任意的实数x，y，有

（2）设（X，Y）为离散型随机变量，则X和Y相互独立的充分必要条件是对于（X，Y）的所有可能取的值（x i，y j），有

例3．3．1　如果随机变量X和Y的联合密度函数为

问X和Y是否相互独立？

解　容易求出

所以，对于任意的实数x，y，有f（x，y）＝f X（x）f Y（y），因此，X与Y相互独立．

例3．3．2　若X和Y的联合分布律如下表：

问X与Y是否相互独立？(www.xing528.com)

解　根据X和Y的联合分布律，有

因此，X与Y相互独立．

在例3．2．2中的随机变量F和D，由于P｛D＝1，F＝0｝＝1／10≠P｛D＝1｝P｛F＝0｝，因此，F和D不是相互独立的．

考虑二维正态随机变量（X，Y），其概率密度为

根据例3．2．4，边缘密度分别为

于是，f X（x），f Y（y）的乘积为

因此，如果ρ＝0，则对于所有的x，y，有f（x，y）＝f X（x）f Y（y），即X与Y相互独立．

反之，如果X与Y相互独立，由于f（x，y），f X（x），f Y（y）都是连续函数，故对于所有的x，y，有f（x，y）＝f X（x）f Y（y）．特别地，令x＝μ1，y＝μ2，从这个等式得到，于是，ρ＝0．综上所述，得到以下结论：

对于二维正态随机变量（X，Y），X与Y相互独立的充分必要条件是参数ρ＝0．

以上所述关于二维随机变量的一些概念，容易推广到n维随机变量的情形．

下面给出一个定理（但不证明），它在数理统计中是很有用的．

定理3．3．2　设（X 1，X 2，…，Xm）与（Y 1，Y 2，…，Y n）相互独立，则X i（i＝1，2，…，m）与Y j（j＝1，2，…，n）相互独立．又若h，g是连续函数，则h（X 1，X 2，…，Xm）与g（Y 1，Y 2，…，Y n）相互独立．