二维离散型随机变量级概率论与数理统计

定义3．1．3　若二维随机变量（X，Y）的所有可能取到的不同值是有限对或可列无限多对时，则称（X，Y）为二维离散型随机变量．

设离散型随机变量（X，Y）的所有可能取值为（x i，y j）（i，j＝1，2，…），记P｛X＝x i，Y＝y j｝＝p ij（i，j＝1，2，…），则由概率的定义，有

（1）pij≥0，i，j＝1，2，…；

（2）

我们称P｛X＝xi，Y＝y j｝＝pij（i，j＝1，2，…）为二维离散型随机变量（X，Y）的分布律，或称为随机变量X和Y的联合分布律．

我们也可以用表的形式来表示随机变量X和Y的联合分布律，见下表：

例3．1．1　设（X，Y）的分布律如下表，求（1）P｛X＋Y≤1｝；（2）F（0，1）．

解　（1）由于事件“X＋Y≤1”是由数对（0，0），（0，1），（1，0）组成，则有P｛X＋Y≤1｝＝P｛X＝0，Y＝0｝＋P｛X＝0，Y＝1｝＋P｛X＝1，Y＝0｝＝0．1＋0．4＋0．2＝0．7．(www.xing528.com)

（2）根据联合分布函数的定义，有F（0，1）＝P｛X≤0，Y≤1｝＝P｛X＝0，Y＝0｝＋P｛X＝0，Y＝1｝＝0．1＋0．4＝0．5．

例3．1．2　设随机变量X在1，2，3，4这4个整数中，等可能地取一个值，若X的值取定时，另一个随机变量Y在1～X中，等可能地取一个整数值．求（X，Y）的分布律．

解　由于｛X＝i，Y＝j｝的取值情况是i＝1，2，3，4，j取不大于i的正整数，根据乘法公式得

于是，得（X，Y）的分布律如下表：

与一维随机变量的情形类似，有

式中，和式是对一切满足x i≤x和y j≤y的i，j来求和的．