连续型随机变量函数的分布-概率论与数理统计

设X为连续型随机变量，其分布函数和密度函数分别为F X（x）和f X（x），随机变量Y＝g（X），要求Y的分布函数F Y（y）和密度函数f Y（y）．

例2．4．2　设随机变量X具有概率密度

求随机变量Y＝3X-1的概率密度．

解　分别记X，Y的分布函数为F X（x），FY（y）．下面先求FY（y），然后再求f Y（y）．

根据分布函数和密度函数的关系，将FY（y）关于y求导数，得Y＝3X-1的概率密度

例2．4．3　设随机变量X具有概率密度f X（x），-∞＜x＜＋∞，试求Y＝X 2的概率密度．

解　分别记X，Y的分布函数为F X（x），FY（y）．下面先求FY（y），然后再求f Y（y）．

由于Y＝X 2≥0，所以，当y≤0时，FY（y）＝0．当y＞0时，有

根据分布函数和密度函数的关系，将FY（y）关于y求导数，得Y＝X 2的概率密度

例2．4．2　和例2．4．3的做法具有一般性，下面给出一个一般性的结果．

定理2．4．1　设随机变量X具有概率密度f X（x），-∞＜x＜＋∞，又设函数Y＝g（X）处处可导且恒有g′（x）＞0（或恒有g′（x）＜0），则随机变量Y＝g（X）的概率密度为

式中，α＝min｛g（-∞），g（＋∞）｝，β＝max｛g（-∞），g（＋∞）｝，h（y）是g（x）的反函数．(www.xing528.com)

例2．4．4　设随机变量X～N（μ，σ2），证明X的线性函数Y＝aX＋b（a≠0）也服从正态分布．

证明　X的概率密度为

现在，y＝ax＋b（a≠0），由此解得

根据定理2．4．1，得Y＝aX＋b（a≠0）的概率密度为

因此，Y～N（b＋μa，（aσ）2）．

若取，得，即为上一节定理2．3．1的结果．

本例用例2．4．2和例2．4．3的方法，但不用定理2．4．1的结果，也是可以的．

首先，根据Y与X的关系，求出Y的分布函数F Y（y）＝P｛Y≤y｝＝P｛aX＋b≤y｝，即

然后，根据分布函数与密度函数的关系，有

即

因此，Y～N（b＋μa，（aσ）2）．