连续型随机变量的特点分析

定义2．3．1　如果对于随机变量X的分布函数F（x），存在非负可积函数f（x），使对于任意实数x，有

则称X为连续型随机变量，其中函数f（x）称为X的概率密度函数，简称概率密度（或密度函数）．

在今后我们遇到的随机变量基本上是离散型或连续型随机变量，本书只讨论这两类随机变量．当然还存在非离散非连续的随机变量，见《概率论与数理统计教程》（韩明，2014）．

根据定义2．3．1可知，概率密度f（x）有如下性质：

（1）非负性．f（x）≥0．

（2）正则性．

（3）对于任意的x 1，x 2（x 1＜x 2），

（4）若f（x）在点x处连续，则有F′（x）＝f（x）．

以下是关于上述4条性质的说明和几何解释．

（1）f（x）≥0，这是定义2．3．1中对f（x）的要求．

（2）根据分布函数的性质，有F（＋∞）＝1，另外，根据定义2．3．1，有

由性质（2）知道，介于曲线y＝f（x）与Ox轴之间的面积等于1（图2-4）．

（3）对于任意的x 1，x 2（x 1＜x 2），有

由性质（3）知道，X落在区间（x 1，x 2］上的概率P｛x 1＜X≤x 2｝等于区间（x 1，x 2］上曲线y＝f（x）之下的曲边梯形的面积（图2-5）．

图2-4　f（x）性质（2）的插图(www.xing528.com)

图2-5　f（x）性质（3）的插图

（4）根据“高等数学”的知识知道，在f（x）的连续点上可导，且有F′（x）＝f（x）．

我们可以看到，概率密度的定义与物理学中的线密度的定义相类似，这就是f（x）为什么被称为概率密度的缘故．

例2．3．1　设随机变量X具有概率密度

（1）确定常数k；（2）求X的分布函数F（x）；（3）求

解　（1）由，得，解得，于是，X的概率密度为

（2）X的分布函数为

（3）

需要指出的是，对于连续型随机变量X来说，它取任意一个指定的实数a的概率均为0，即P｛X＝a｝＝0．事实上，设X的分布函数为F（x），Δx＞0，则由｛X＝a｝⊂｛a-Δx＜X≤a｝，得

在上述不等式中，令Δx→0，并注意到X是连续型随机变量，其分布函数F（x）是连续的，即得P｛X＝a｝＝0．

因此，对于连续型随机变量X来说，有

这给有关连续型随机变量计算概率带来很多方便．而对于离散型随机变量，这个性质是不存在的，离散型随机变量计算概率要“点点计较”．

注意，事件｛X＝a｝并非不可能事件，但P｛X＝a｝＝0．我们知道，若A为不可能事件，则有P（A）＝0；反之，若P（A）＝0，并不一定意味着A为不可能事件．