【摘要】：），根据概率的可列可加性，知道X的分布函数是小于或等于x的那些x k处的概率p k之和，即这里求和是对所有满足x k≤x的那些k来求的，即图2-3阶梯型函数F的图形当x＜x 1时，F＝0，当x 1≤x＜x 2时，F＝p 1，当x 2≤x＜x 3时，F＝p 1＋p 2，……．F的图形如图2-3所示，它是一个阶梯型函数，在x＝x k处有跳跃，跳跃度分别为p k＝P｛X＝x k｝，k＝1，2，…
分布函数F（x）具有以下基本性质：
（1）F（x）是单调不减函数，即当x 1＜x 2时，F（x 1）≤F（x 2）．
事实上，当x 1＜x 2时，有F（x 2）-F（x 1）＝P｛X≤x 2｝-P｛X≤x 1｝＝P｛x 1＜X≤x 2｝≥0．
（2）0≤F（x）≤1，且
事实上，F（-∞）＝P｛X≤-∞｝＝P（∅）＝0，F（＋∞）＝P｛X≤＋∞｝＝P（Ω）＝1．
（3）F（x）是一个右连续函数，即对于任意的实数x，有F（x＋0）＝F（x）．这里证明从略．其证明见“工科‘概率统计’教学中的几个问题”（韩明，高等数学研究，2007）．
注 如果一个函数具备上述3条性质，则它一定是某个随机变量的分布函数．
例2．2．2 设随机变量X的分布函数为F（x）＝A＋B arctan x，-∞＜x＜＋∞，（1）求常数A，B；（2）计算P｛-1＜X≤1｝．
解 （1）根据分布函数的性质，有
解得
，于是
（2）
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一般地，设离散型随机变量X的分布律为P｛X＝x k｝＝p k（k＝1，2，…），根据概率的可列可加性，知道X的分布函数是小于或等于x的那些x k处的概率p k之和，即
这里求和是对所有满足x k≤x的那些k来求的，即
图2-3 阶梯型函数F（x）的图形
当x＜x 1时，F（x）＝0，
当x 1≤x＜x 2时，F（x）＝p 1，
当x 2≤x＜x 3时，F（x）＝p 1＋p 2，
……，
当x n-1≤x＜x n时，F（x）＝p 1＋p 2＋…＋p n-1，
……．
F（x）的图形如图2-3所示，它是一个阶梯型函数，在x＝x k处有跳跃，跳跃度分别为p k＝P｛X＝x k｝，k＝1，2，…．
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