常见离散型随机变量-《概率论与数理统计》

以下介绍3种重要的离散型随机变量．

2．1．3．1　0-1分布

定义2．1．3　设随机变量X只可能取0与1两个值，X取1的概率为p，则X的分布律为

则称X服从0-1分布（或两点分布）．

0-1分布的分布律也可以写成如下表的形式：

对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含2个元素，即Ω＝｛ω1，ω2｝，我们总能在Ω上定义一个服从0-1分布的随机变量

来描述这个随机试验的结果．例如，检查产品的质量是否合格，抛硬币出现的结果是正面还是反面等，都可以用0-1分布来描述．

2．1．3．2　二项分布

在1．4．2中我们介绍过伯努利试验、n重伯努利试验以及二项概率．用X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，则X是一个随机变量，它的所有可能取值为0，1，2，…，n．根据1．4．2的结果，n重伯努利试验中事件A发生k次的概率为，记q＝1-p，则有

式中，0＜p＜1．

定义2．1．4　如果随机变量X的分布律由式（2．1．2）给出，则称X服从参数为n，p的二项分布（binomial distribution），记为X～B（n，p）．

根据二项分布的定义，显然有

（1）P｛X＝k｝≥0，k＝0，1，2，…，n；

（2）

从上式可以看出，恰好是二项式（p＋q）n的展开式中含有p k的那一项，因此，我们称随机变量X服从二项分布．

特别地，当n＝1时，式（2．1．2）变为，此时，二项分布退化为0-1分布（或两点分布），记为X～B（1，p）．

例2．1．4　某人进行射击，设每次射击命中的概率为0．02，独立射击400次，试求至少击中2次的概率．

解　将一次射击看作是一次伯努利试验，设400次射击中命中的次数为X，则有X～B（400，0．02），根据式（2．1．2）得0，1，2，…，400．

于是，所求的概率为

从例2．1．4中我们看到，尽管这个人射击命中的概率很小，但射击400次至少击中2次的概率很接近1．这个例子在我们日常生活中有什么启发呢？请读者思考．

例2．1．5　设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0．01，且1台设备的故障由1个人处理．考虑2种配备维修工人的方法，其一是由4人分别维护，每人负责20台；其二是由3人共同维护80台．试比较这2种方案在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小．

解　按第1种方案．用X表示“1个人维护20台中同一时刻发生故障的台数”，则X～B（20，0．01）．用Ai（i＝1，2，3，4）表示事件“第i人维护的20台中发生故障时不能及时维修”，则80台中发生故障时不能及时维修的概率为

由于X～B（20，0．01），则有

所以，有P（A 1∪A 2∪A 3∪A 4）≥0．0169．

按第2种方案．用Y表示“80台中同一时刻发生故障的台数”，则Y～B（80，0．01），于是，80台中发生故障时不能及时维修的概率为

这个例子的结果说明了什么？在日常生活中对我们有什么启发？请读者思考．

2．1．3．3　泊松分布

定义2．1．5　设随机变量X的所有可能取值为0，1，2，…，而取各个值的概率为

式中，λ＞0为常数，则称X服从参数为λ的泊松分布（Poisson distribution），记为X～P（λ）．

从泊松分布的定义，可知(https://www.xing528.com)

（1）P｛X＝k｝≥0，k＝0，1，2，…；

（2）

泊松分布在实际问题中具有十分广泛的应用，例如，一本书的某一页中印刷符号错误的个数；某地区一天内邮递遗失的信件数；在一段时间内，某操作系统发生故障的次数等，这些都可以用泊松分布来描述．

例2．1．6　统计资料表明，某路口每月发生交通事故次数服从参数为6的泊松分布，求该路口1个月至少发生1起交通事故的概率．

解　设该路口每月发生交通事故次数为X，根据题意X～P（6），由式（2．1．3），所求的概率为

以下给出二项分布与泊松分布的关系．

定理2．1．1（泊松定理）设λ＞0是一个常数，n是任意自然数，np n＝λ，则对于任意固定的非负整数k，有

定理2．1．1的证明从略．根据定理2．1．1，当n很大而p很小时，则

在实际计算中，当n很大，p很小时，就可以用作为的近似值，而前者可以查泊松分布表（见书末附表2），计算较为方便．

例2．1．7　比较二项分布B（200，0．025）和泊松分布P（5），并说明它们的关系．

解　以下从二项分布B（200，0．025）和泊松分布P（5）的分布律计算结果、分布律的折线图两个方面来进行比较．

（1）当n＝200，p＝0．025，λ＝np＝5时，二项分布B（n，p）和泊松分布P（λ）的分布律计算结果，见下表：

说明：在上表中，…．当k≥16时，B（k；n，p）≈0，P（k；λ）≈0．

从上表可以看出，二项分布B（200，0．025）和泊松分布P（5）的分布律计算结果接近程度比较好．

（2）二项分布B（200，0．025）和泊松分布P（5）的分布律折线图如图2-1所示．

图2-1　二项分布和泊松分布的分布律折线图

说明：在图2-1中，“◦”表示二项分布B（200，0．025）的分布律，“*”表示泊松分布P（5）的分布律．

从图2-1可以看出，二项分布B（200，0．025）和泊松分布P（5）的分布律折线图接近程度比较好．

从以上（1）和（2）两个方面都说明，二项分布B（200，0．025）和泊松分布P（5）非常接近．这就直观地验证了定理2．1．1（泊松定理）．

说明：例2．1．7中有关分布律的计算和折线图的MATLAB程序，见本书附录B的例B．2．2．

例2．1．8　在某一个繁忙的汽车站，有大量汽车通过，设每辆车在一天的某段时间内发生事故的概率为0．0001，在某天的该段时间内有1000辆汽车通过，求某天该段时间内发生事故的次数不小于2的概率是多少．

解　根据题意，该问题可以看作n重伯努利试验，设X为n重伯努利试验中发生事故的次数，则X～B（n，p），这里，p＝0．0001，n＝1000．按二项分布计算，发生事故的次数不小于2的概率为

由于p＝0．0001，n＝1000，λ＝np＝0．1，所以，可以用泊松定理来近似计算．根据泊松定理，发生事故的次数不小于2的概率为

或

注　查书末附表2——泊松分布表,

值得注意的是，按二项分布计算的结果是精确的，按泊松定理计算的结果是近似的，而这种近似计算的误差是0．000004（百万分之4）．

例2．1．9　某地有2500人参加某种人寿保险，每人在年初向保险公司交付保险金200元，如果在1年内投保人死亡，则其家属可从保险公司领取5万元，设该类投保人死亡率为0．002，求保险公司获利不少于10万元的概率．

解　设X为投保人中1年内的死亡数，根据题意，X～B（n，p），这里，p＝0．002，n＝2500，λ＝np＝5，可以用泊松定理来近似计算．

如果投保人在1年内有X人死亡，则保险公司将付出50000X元，而这一年保险公司收入（元）为200×2500-50000X＝500000-50000X．所求概率为

注　查书末附表2——泊松分布表,