概率论与数理统计（第5版）：概率论发展简史

复习题1．13详解

复习题1．20详解

1．袋中装有编号为1，2，3，4，5的5个相同的球．若从中任取3个球，请写出这个随机试验的样本空间，并计算基本事件总数．

2．已知10只产品中有2只次品，在其中取2次，每次任取1只作不放回抽样．求下列事件的概率：（1）2只都是正品；（2）2只都是次品；（3）1只是正品，1只是次品．

3．在8位电话号码中，求数字6恰好出现4次的概率．

4．将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率．

5．甲、乙两轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊．它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的．如果甲船的停泊时间是1h，乙船的停泊时间是2h，求它们中任何一艘都不需要码头等候空出的概率．

6．事件A与B相互独立，P（A）＝0．4，P（A∪B）＝0．7，求P（B）．

7．设A，B为2个事件，P（A）＝0．4，P（B）＝0．8，P（¯AB）＝0．5，求P（B|A）．

8．设第1个盒子中装有3只蓝球，2只绿球，2只白球，第2个盒子中装有2只蓝球，3只绿球，4只白球．独立地分别在2个盒子中各取1只球．（1）求至少有1只蓝球的概率；（2）求有1只蓝球1只白球的概率；（3）已知至少有1只蓝球，求有1只蓝球1只白球的概率．

9．甲、乙2人独立地对同一目标射击1次，其命中概率分别为0．6和0．5．现已知目标被命中，求它只是被甲射中的概率．

10．已知男子有0．05是色盲患者，女子有0．0025是色盲患者．今从男女人数相等的人群中随机地挑选1人，恰好是色盲患者，此人是男性的概率是多少？

11．盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的．第1次比赛时从中任取3个来使用，比赛后仍放回盒子中．第2次比赛时，再从盒中任取3个球，求：（1）第2次取出的球都是新球的概率；（2）已知第2次使用时，取到的是3只新球，而第1次使用时取到的是1只新球的概率．

12．最近来某房产公司的100位顾客中有1位购买了该房产公司的1套房子，根据这一比例，在接下去来到的50位顾客中恰好有1位购买该公司房子的概率是多少？

13．常言道：“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”，如今有3位“臭皮匠”受某公司之请各自独立地去解决某问题，公司负责人据过去的业绩，估计他们能解决此问题的概率分别是0．45，0．55，0．60．据此，该问题能被解决的概率是多少？

14．在抛骰子的试验中，问至少抛多少次才能使不出现1点的概率小于1／3？

15．证明：若3个事件A，B，C相互独立，则A∪B与C独立．

16．有标号为1，2，3，…，9的9张数字卡片，分2次从中取出2张．求：（1）第1张卡片为奇数标号、第2张卡片为偶数标号（事件A）的概率；（2）2张卡片标号之和不超过10（事件B）的概率；（3）至少有1张卡片标号不小于7（事件C）的概率．

17．5人排队抓阄，决定谁取得一物（即5个阄中有4个是白阄，只有1个是有物之阄）．问：（1）第3人抓到有物之阄的概率是多少？（2）前3人之一抓到有物之阄的概率是多少？（3）如果有2物（即5个阄中有2个是有物之阄），后2个人都抓不到有物之阄的概率是多少？(www.xing528.com)

18．把r个不同的球随机放入n个格子（如箱子），假如每个格子能放很多球，每个球落入每个格子的可能性相同，若n≥r，求下列事件的概率：（1）事件A＝“恰有r个格子中各有1球”；（2）事件B＝“至少有1个格子有不少于2个球”．

19．从5双不同的鞋子中任取4只，求在这4只鞋子中：（1）至少有2只配成1双的概率；（2）恰好2只配成1双的概率．

20．10个题签中有4个是难题，甲、乙、丙3位学生，按甲先乙次丙最后的顺序进行抽签考试，这种考试是否公平？

21．已知100件产品中有10件是正品，正品每次使用绝对不会发生故障，还有90件非正品，每次使用有0．1的可能性发生故障．现从100件产品中任取1件，使用n次均没发生故障．问n至少为多大时，才能有70%的把握认为所取的产品是正品？

补充阅读

“概率论”发展简史

早在15世纪末16世纪初，文艺复兴时期的意大利挣脱了中世纪严酷的宗教禁锢，经济、文化、政治一派繁荣；同时，赌博开始盛行，保险业正在兴起，彩票发行日趋普遍，社会及人口的研究也达到了较高水平，这些都促进了概率论的早期探索。塔塔利亚（Tartaglia）、卡丹诺（Cardano）等意大利数学家率先讨论以掷骰子为代表的机遇性赌博中的计算问题。卡丹诺首先觉察到，赌博输赢虽然是偶然的，但较大的赌博次数会呈现一定的规律性，卡丹诺为此还写了一本《论赌博》的小册子，书中计算了掷两颗骰子或三颗骰子时，在一切可能的方法中有多少方法得到某一点数．

促使概率论产生的强大动力来自社会实践．首先是保险事业．文艺复兴后，随着航海事业的发展，意大利开始出现海上保险业务．16世纪末，在欧洲不少国家已把保险业务扩大到其他工商业上，保险的对象都是偶然性事件．为了保证保险公司赢利，又使参加保险的人愿意参加保险，就需要根据对大量偶然现象规律性的分析，去创立保险的一般理论．于是，一种专门适用于分析偶然现象的数学工具也就成为十分必要了．

不过，作为数学科学之一的概率论，其基础并不是在上述实际问题的材料上形成的．因为这些问题的大量随机现象，常被许多错综复杂的因素所干扰，使它难以呈“自然的随机状态”．因此，必须从简单的材料来研究随机现象的规律性，这种材料就是所谓的“随机博弈”．在近代概率论创立之前，人们正是通过对这种随机博弈现象的分析，注意到了它的一些特性，比如“多次试验中的频率稳定性”等，然后经加工提炼而形成了概率论．

荷兰数学家、物理学家惠更斯（Huygens）于1657年发表了关于概率论的早期著作《论赌博中的计算》．在此期间，法国的费尔马（Fermat）与帕斯卡（Pascal）也在相互通信中探讨了随机博弈现象中所出现的概率论的基本定理和法则．惠更斯等人的工作建立了概率和数学期望等主要概念，找出了它们的基本性质和演算方法，从而塑造了概率论的雏形．

18世纪是概率论的正式形成和发展时期．1713年，贝努利（Bernoulli）的名著《推想的艺术》发表．在这部著作中，贝努利明确指出了概率论最重要的定律之一——“大数定律”，并且给出了证明，这使以往建立在经验之上的频率稳定性推测理论化了，从此概率论从对特殊问题的求解，发展到了一般的理论概括．

继贝努利之后，法国数学家棣莫弗（De Moiver）于1781年发表了《机遇原理》．书中提出了概率乘法法则以及“棣莫弗中心极限定理”等，为概率论“中心极限定理”的建立奠定了基础．

法国数学家蒲丰（Buffon）把概率和几何结合起来，开始了几何概率的研究，他于1777年提出的“蒲丰投针问题”就是采取概率的方法来求圆周率π的尝试．

通过贝努利和棣莫弗的努力，使数学方法有效地应用于概率研究之中，这就把概率论的特殊发展同数学的一般发展联系起来，使概率论一开始就成为数学的一个分支．

概率论问世不久，就在应用方面发挥了重要的作用．牛痘在欧洲大规模接种之后，曾因副作用引起争议．这时贝努利的侄子丹尼尔·贝努利（Daniel Bernoulli）根据大量的统计资料，得出了种牛痘能延长人类平均寿命三年的结论，消除了一些人的恐惧和怀疑；欧拉（Euler）将概率论应用于人口统计和保险，写出了《关于死亡率和人口增长率问题的研究》《关于孤儿保险》等文章；泊松（Poisson）又将概率应用于射击的各种问题的研究，提出了《打靶概率研究报告》．总之，概率论在18世纪确立后，就充分地反映了其广泛的实践意义．

19世纪概率论朝着建立完整的理论体系和更广泛的应用方向发展．其中为之作出较大贡献的有：法国数学家拉普拉斯（Laplace），德国数学家高斯（Gauss），英国物理学家、数学家麦克斯韦（Maxwell），美国数学家、物理学家吉布斯（Gibbs）等．概率论的广泛应用，使它于18和19两个世纪成为热门学科，几乎所有的科学领域，包括神学等社会科学都企图借助于概率论去解决问题，这在一定程度上造成了“滥用”的情况，因此到19世纪后半期时，人们不得不重新对概率进行检查，为它奠定牢固的逻辑基础，使它成为一门强有力的学科．1917年，苏联科学家伯恩斯坦构造了概率论的第一个公理化体系．20世纪初完成的勒贝格测度和勒贝格积分理论以及随后发展起来的抽象测度和积分理论，为概率论公理体系的确立奠定了理论基础。到了30年代，随着大数律研究的深入，概率论与测度论的联系愈来愈明显。在这种背景下，柯尔莫哥洛夫于1933年在他的《概率论基础》一书中第一次给出了概率的测度论式的定义和一套严密的公理体系。这一公理体系一经提出，便迅速获得举世的公认。它的出现，是概率论发展史上的一个里程碑，为现代概率论的蓬勃发展打下了坚实的基础。

在公理化基础上，现代概率论取得了一系列理论突破。公理化概率论首先使随机过程的研究获得了新的起点。1931年，柯尔莫哥洛夫用分析的方法奠定了一类普通的随机过程——马尔可夫过程的理论基础。柯尔莫哥洛夫之后，对随机过程的研究作出重大贡献而影响着整个现代概率论的重要代表人物有莱维（Levy）、辛钦、杜布（Dob）和伊藤清（Ito Kiyoshi）等。1948年，莱维在他出版的著作《随机过程与布朗运动》中提出了独立增量过程的一般理论，并以此为基础极大地推进了作为一类特殊马尔可夫过程的布朗运动的研究。1934年，辛钦提出平稳过程的相关理论。1939年，维尔引进“鞅”的概念，1950年起，杜布对鞅进行了系统的研究而使鞅论成为一门独立的分支。从1942年开始，日本数学家伊藤清引进了随机积分与随机微分方程，不仅开辟了随机过程研究的新道路，而且为随机分析这门数学新分支的创立和发展奠定了基础。像任何一个公理化的数学分支一样，公理化的概率论的应用范围被大大拓广。