概率论与数理统计中事件的独立性证明

在一般情况下，P（B|A）≠P（B）（这里，P（A）＞0），就是说，通常情况下，事件A的发生，对事件B发生的概率是有影响的．只有在这种影响不存在时，才会有P（B|A）＝P（B），此时有P（AB）＝P（B|A）P（A）＝P（A）P（B）．

例1．4．1　试验E为“抛甲、乙两枚硬币，观察正面（H）反面（T）出现的情况”，设事件A为“甲出现H”，事件B为“乙出现H”．试验E的样本空间为Ω＝｛HH，HT，TH，TT｝．根据古典概型中概率的计算公式，得

从以上的计算，我们可以看到P（B|A）＝P（B），而P（AB）＝P（A）P（B）．事实上，根据题意，甲币是否出现正面与乙币是否出现正面是互不影响的．

定义1．4．1　设A和B是两个事件，如果满足等式

P（AB）＝P（A）P（B），

则称事件A与B相互独立，简称A与B独立．

容易知道，若P（A）＞0，P（B）＞0，则A与B相互独立与互不相容不能同时成立（作为一个练习题，见本节的习题9）．

定理1．4．1　设A和B是两个事件，且P（A）＞0，若A与B相互独立，则有P（B|A）＝P（B），反之亦然．

这个定理的正确性是显然的．

定理1．4．2　若事件A与B相互独立，则下列各对事件也相互独立：A与，与B，与．

证明　由于A＝AΩ＝A（B∪）＝AB∪A，AB∩A＝∅，得

P（A）＝P（AB∪A）＝P（AB）＋P（A）＝P（A）P（B）＋P（A）．

所以，P（A）＝P（A）［1-P（B）］＝P（A）P（），于是，根据定义1．4．1，A与独立．由此立即推出与独立．再＝B，又推出与B独立．(www.xing528.com)

以下我们把2个事件的独立性推广到3个事件的情形．

定义1．4．2　设A，B，C是3个事件，如果满足等式

则称事件A，B，C相互独立．

一般地，设A 1，A 2，…，An是n（n≥2）个事件，如果对于其中任意2个，3个，…，任意n个事件的积事件的概率都等于各事件概率之积，则称事件A 1，A 2，…，An相互独立．

由此可以得到以下2个结论：

（1）若n个事件A 1，A 2，…，An（n≥2）相互独立，则其中任意k（2≤k≤n）个事件也相互独立．

（2）若n个事件A 1，A 2，…，An（n≥2）相互独立，则将A 1，A 2，…，An中任意多个事件换成它们的对立事件，所得的n个事件仍然是相互独立的．一般地，在实际应用中，对于事件的独立性常常是根据事件的实际意义去判断．

例1．4．2　某彩票每周开奖1次，每次提供10万分之一的中奖机会，如果你每周买1次彩票，尽管你坚持10年（每年52周）之久，你从未中奖的概率是多少？

解　根据题意，每次中奖的概率是10-5（10万分之一），于是，每次未中奖的概率是1-10-5．另外，10年你共买彩票520次，根据题意，每次开奖是相互独立的，因此，10年中你从未中过奖（每次都未中奖）的概率是p＝（1-10-5）520≈0．9948．

从结果看，10年中你从未中过奖是很正常的事．

例1．4．3　某大学生给4家单位各发了1份求职信，假定这些单位彼此独立，通知他去面试的概率分别是．问这个学生至少有1次面试机会的概率是多少．

解　设Ai表示“第i个单位通知他面试”（i＝1，2，3，4），则，根据题意，所求概率为