几何概率：无限几何区域中样本点的等可能性

我们继续考虑样本点的出现是等可能的随机试验，但不是古典概型那样局限于有限多个样本点的情形．将古典概型中的有限性推广到无限，而样本点的出现又有类似于古典概型中的等可能性，就得到几何概率．

定义1．2．4（几何概率）如果试验E的样本点有无限多个，其样本空间Ω可用一个有度量的几何区域来表示，并且样本点落在Ω内任意一点处都是等可能的，其中A是Ω中的一个区域，样本点落在区域A的概率与A的测度（长度、面积、体积等）成正比，而与A的位置和形状无关，则样本点落在区域A的概率为

式中，m（A）为区域A的测度，m（Ω）为区域Ω的测度，称上述概率为几何概率．

例1．2．5　在线段［0，3］上任意投一点，求此点的坐标小于1的概率．

解　当且仅当点落在［0，1）内时，此点的坐标小于1．根据几何概率的定义式

（1．2．2），所求的概率为(www.xing528.com)

例1．2．6　（会面问题）两人相约在早晨8点到9点之间在某地会面，并约定先到者等候另一个人30min后就可以离开，求这两个人能见面的概率．

图1-8　会面问题

解　设8点x（min），8点y（min）分别表示两个人到达某地的时刻，由于两个人在8点到9点之间到达是随机的，因此，x，y都等可能地在［0，60］上取值，点（x，y）就是平面区域Ω＝｛（x，y）|0≤x≤60，0≤y≤60｝上等可能的随机点．设A＝“两人能够会面”，根据题意，事件A发生的充分必要条件是|x-y|≤30，即随机点落在区域A＝｛（x，y）||x-y|≤30｝内，如图1-8所示．根据几何概率的定义式（1．2．2），所求的概率为