计算全息与图像加密：全息显示质量评价方法

7.5.1　评价显示质量的基本方法

目前，显示质量的评价方法通常分为两种：主观评价法和客观评价法。主观评价法是由人眼的主观视觉感受对显示质量的好坏做出评价，这种方法存在一定的不科学性，且人眼无法对显示质量相近的图像做出正确判断。客观评价方法是采用某种算法，通过数据或图表客观分析显示质量的优劣，常见的有：峰值信噪比（Peak Signal to Noise Ratio, PSNR）、互相关系数（Correlation Coeffcient, CC）、结构相似化指数（Structural similarity indexmeasurement system, SSIM）、散斑指数（Speckle Index, SI）等。其中PSNR是一种应用最广泛的评价图像质量的客观标准，为了衡量经过处理后再现像的质量，通常用PSNR值确定经过某个算法处理后的再现像能否达到令人满意的效果。其值越高表明处理后的再现像质量越好，单位是dB，但是很多实验结果都显示，PSNR有时反映图像质量与人眼观察的图像质量情况并不完全相符，还需要其他评价指数作为参考。CC是两个信号之间的相关度，即原始图像和再现图像之间的相关度，其绝对值越接近于1，就表明再现像与原始图像的相关性越高，再现像的显示质量就越高。但是该评价指标只是用来衡量两个变量线性相关程度的标准，存在一定的局限性。SSIM是一种衡量两幅图像相似度的指标，其值越大越好，最大为1，这项指标通常用在图像去躁处理中图像相似度评价上。SI表示了滤波算法对散斑噪声的抑制能力，其值越小表明抑制效果越好。

综上所述，可以发现以上几种评价显示质量的方法均有其使用的局限性及缺陷性，因此本文引入点扩散函数（Point Spread Function, PSF）对显示质量进行评价。点扩散函数是用来衡量重建后图像的分辨率，分辨率的高低反映了显示质量的高低。并且只需通过观看点扩散函数模型的宽度就可以知道显示质量的高低，点扩散函数的宽度越窄，说明重建图像的分辨率越高，显示质量越高；点扩散函数的宽度越宽，说明重建图像的分辨率越低，显示质量越低。利用点扩散函数可以非常直观地评价显示质量的高低。

7.5.2　点扩散函数的原理及意义

函数上，点扩散函数是成像系统传递函数的空间域表达，它描述了一个成像系统对一个点光源（物体）的响应。大多数情况下，PSF可以认为像是一个能够表现未解析物体的图像中的一个扩展区块，因此它在傅立叶光学、天文成像、医学影像等其他成像技术中都有很重要的应用。在线性成像系统中，两个物点同时成像的结果等同于两物点独立成像的结果之和，因此，任何复杂物点的成像结果都可以看作物点和点扩散函数之间的卷积，如图7-13所示。

图7-13　物点的成像结果是物点和点扩散函数的卷积

相应地，在频域上描述一个成像系统的是光学传递函数（Optical Transfer Function, OTF），点扩散函数可由光学传递函数的逆傅立叶变换得到。假设在一个没有畸变且失真的线性光学系统里，物点的坐标为（x0，y0），则相应的像点坐标为（xi，yi），设该线性光学系统的变换系数为K，则物点和像点坐标之间存在对应关系：

在物平面上，光场分布可以表示脉冲函数与物点的卷积：

在像平面上，光场是原物点与脉冲响应函数的卷积，可以得到表达式：

其中，就是脉冲函数δ（x0-µ,y0-v）经过成像系统的响应函数。

对于一个二维平面来说，理想的脉冲函数应该是一个面积趋向于0、高度趋向于正无穷的四棱柱。但是在计算机生成的图像中，像素就是图像的最小单位。在计算全息三维显示中，由于数值重建过程模拟了光学成像过程，计算出相位全息图并重建出的图像与原图存在一定差异，这个过程也可以用点扩散函数与物像的卷积来表示。

7.5.3　点扩散函数评价显示质量原理

PSF通常用作基本成像函数来检查生成图像的质量。重建的图像可以看作原始图像与PSF卷积后所成的图像，它们之间的关系如图7-14所示。从图7-14中可以看出，原始图像和PSF之间的卷积影响重建图像的质量。对于CGH系统，首先由计算机模拟记录过程以获得全息图。然后，将全息图上传到SLM上并通过光学器件重建原始场景，光学重建的过程可以被视为PSF的作用。因此，PSF可以用作评估重建图像质量的指标，PSF模型的好坏则反映了再现像质量的高低。

图7-14　原始图像、再现图像和点扩散函数之间的关系

它主要的技术路线如图7-15所示，首先初步分析对计算全息重建图像会产生影响的因素，在这一部分会利用点扩散函数来验证这些因素对图像质量的影响。改变这些因素并分析出这些因素对点扩散函数的形状与参数的影响，得出适合本章研究内容的最佳参数。

图7-15　主要技术路线流程

7.5.4　分析实验参数对显示质量的影响

在这项工作中，计算机生成的全息图也是通过基于层析法的角谱衍射算法计算得到完整的复振幅分布。

7.5.4.1　分析重建距离对显示质量的影响

随着传输距离的增加，系统的分辨率会提高，质量会提高。但是，因为在满足奈奎斯特定理的条件下，传输距离不是任意增加的，而是有一定限度的，因此传输距离可表示如下：

当式（7-11）的左右两侧严格相等，可以得到最大传输距离：(www.xing528.com)

式（7-12）表明最大传输距离与像素数和像素间距成比例，并且与波长成反比。

7.5.4.2　分析菲涅尔波带片环数对显示质量的影响

从完整复振幅分布中提取相位信息后，将获得相位全息图，然后将相位全息图上载到相位型SLM上则会得到原始场景的再现像，因此SLM的调制特性将会影响系统的显示质量。如图7-16所示，常用SLM的像素通常可以近似为正方形或矩形。

SLM通过矩阵结构调制入射光，该矩阵结构由离散像素的2-D阵列组成。SLM的主要几何参数是横向长度αΔx和有效区域中像素的纵向长度βΔy。Δx和Δy分别是水平和垂直方向上的像素间距。α和β分别是水平和垂直方向的填充因子。M和N分别是水平和垂直方向上的像素数。因此，上传的全息图的相位分布可写为：

图7-16　SLM矩阵结构图区

结果表明，显示质量会受到记录参数的影响，例如波长、传输距离、像素间距和像素数。由于实验装置的限制，在这项工作中只研究了传输距离对重建图像的影响。该对象包含很多要点，为了简化计算，在这项工作中使用单点源作为实验模型。根据干涉理论，单点源的全息图是菲涅尔波带片。菲涅尔波带片的传输距离可以描述为：

其中，n是衍射级，R是区域板的半径，P是区域板的环数。由式（7-14）可以看出，传输距离d与环的数量P有关。

7.5.5　实验参数影响显示质量的数值分析

7.5.5.1　重建距离影响显示质量的数值分析

不同传输距离的数值模拟和光学重建结果如图7-17所示，可以看出，重建结果的强度在200mm后变弱。将实验参数M=3840，∆x=3.74μm，λ=0.532μm代入式（7-12），可以求得最大传输距离d为：

所得结果与实验数据一致。

此外，从图7-17中系统的三维PSF模型及图7-18中PSF模型的剖面图可以看出，随着距离的变化主瓣的宽度几乎没有变化，但旁瓣随着传输距离的增加而变化。

图7-17　（a1）数值模拟结果（z=100mm）；（a2）上传到SLM上的相位全息图（z=100mm）；（a3）光学重建结果（z=100mm）；（a4）重建系统的三维PSF模型（z=100mm）；（b）～（g）z=150～400mm时数值模拟结果、上传到SLM的相位全息图、光学重建结果，以及重建系统的三维PSF模型，间隔为50mm

图7-18　从上到下z=100～300mm，间隔为50的PSF模型剖面图

从图7-17、图7-18中可以看出，点源的强度在200mm之后变弱。另外，它们相应的PSF模型的主瓣宽度不会改变，但是旁瓣随着传输距离的增加而发生改变。

二、菲涅尔波带片环数影响显示质量的数值分析

当确定传输距离时，原始主焦点位置将随着菲涅尔波带片环数的改变而改变，它会影响重建图像的质量。图7-19是不同数量的菲涅尔波带片环数下的实验结果，图7-20是不同数量的菲涅尔波带片环数下PSF模型的剖面变化图，从图7-19（a3）～（i3）及图7-20可以看出，随着环数的增加，PSF中主瓣的宽度变窄。但是，如图7-19（e3）～（i3）所示，PSF的主瓣宽度几乎没有变化。同时，如图7-19（e1）～（i1）所示，数值模拟中的重建图像几乎相似，这意味着当环的数量大于8时，重建质量将保持稳定。图7-19（a4）～（i4）中的光学重建结果验证了数值模拟的可靠性。另外，当环的数量小于3时，由于全息图中包含的信息太小，所以不能如图7-19（a4）～（b4）所示进行光学重建。由以上分析可知，一个点光源作为实验对象时，当确定传输距离为200mm时，菲涅尔波带片最佳的环数为8。这些结果为同种实验获取最佳显示质量提供参考值，数值模拟和光学实验都证明了这一参考值的可行性。对单点源的分析表明，对于大尺寸全息图，有用的信息是有限的，可以压缩全息图以提高SLM的利用率。

图7-19　从P=1开始的数值模拟和光学实验图（从上至下）

图7-20　环数为5-13的菲涅尔波带片全息图（间隔为2）及其对应的PSF模型的剖面图