压缩感知理论的测量矩阵选择

测量矩阵的选择是压缩感知理论的第二重要内容。从测量矩阵设计的基本原理看，要求在减少测量个数的同时还能精确重构测量信号，这就要求测量矩阵与稀疏正交基（字典）满足高度不相干性或者其满足有限等距性质。从测量矩阵构造技术角度来看，主要包括测量矩阵元素的选择和测量矩阵维数应该与信号的稀疏度及信号的长度满足一定的关系。因此，对于测量矩阵的选择需要全面考虑。

测量矩阵Φ不仅用于对N维信号x中压缩采样获得M个测量值，而且对于从M个测量值中重构出N维信号x起着关键作用，因此Φ的选择非常重要。如果对信号x测量获得M个测量值时，Φ改变了x中的信息，则不能完全重构原始信号x。通常，因测量过程Φ和Ψ是线性的和限定的，求解给定的y是一个M＜N的线性代数问题，方程组中未知数的个数多于方程的个数，这是一个NP问题。

然而，Φ压缩测量的信号x是K稀疏的，而且知道这K个非零数的位置，上述NP问题可以通过证明M≥K来解决，也就是说，经矩阵Θ压缩测量后，K稀疏向量的长度是能够被完整地保存下来的。对于K稀疏可压缩的信号有解的充分条件是Θ满足式（3-7），这就是RIP。

其中，ε是一个小的常数。

如果选择的Φ和Ψ满足高概率的不相关，即可保证方程有解。因此，在确定信号稀疏方式后（Ψ一定时），为使得Θ=ΦΨ满足有RIP，就需要考虑设计什么样的Φ。(www.xing528.com)

本文中所使用的Φ皆是高斯随机矩阵。首先，Φ与基Ψ=I的δ冲击函数的高概率不相关，当测量参数M≥cKlog（N/K），M×N的高斯矩阵Θ=ΦI=Φ高概率的满足RIP。其次，因高斯随机矩阵Φ的性质表明其服从高斯分布，则Θ=ΦΨ同样服从高斯分布，所以Ψ可以任意选择，只要其能将信号稀疏化即可。因此随机高斯矩阵具有普适性。

除了上面选用的随机高斯矩阵外，还有很多适合的测量矩阵，其主要分为两类：

第一类，随机矩阵，主要有高斯随机矩阵，部分傅立叶矩阵，贝努力矩阵，非相关测量矩阵，结构化随机矩阵，这些矩阵要么是元素独立同分布服从某一分布，要么是从正交矩阵中随机选取M行，并对每一行归一化处理得到的。这类矩阵重建性能好，精确重构需要的测量数少，但是其计算复杂度高、存储空间大且实际应用中不易于硬件实现。

第二类，确定性测量矩阵，主要包括转换矩阵，多填式矩阵，哈达玛矩阵，托普利兹矩阵，Chrip测量矩阵等。这类矩阵优点是占用存储空间少，硬件易于实现，是未来研究的方向，但是目前其重构精度还远远不及随机矩阵。