1．已知解析函数f（z）的虚部v（x，y）＝2xy－y，且f（0）＝0，试求f（z）的表达式，并用z表示．
分析 本题需要用到解析函数f（z）的实部u（x，y）与虚部v（x，y）应该满足Cauchy－Riemann条件这一结论；要将f（z）用z 表示，只需在f（z）的表达式中取y＝0得f（x）的表达式，然后将x 换为z 即可．
解 根据解析函数的Cauchy－Riemann条件，有
所以u（x，y）＝x2－x＋φ（y），从而
所以u（x，y）＝x2－x－y2＋C，得
f（z）＝u（x，y）＋iv（x，y）＝x2－x－y2＋C＋i（2xy－y）
由于f（0）＝0得C＝0，取y＝0得f（x）＝x2－x，然后将x 换为z，即得
f（z）＝z2－z
2．设f（z）＝u（x，y）＋iv（x，y）为解析函数，若
u－v＝（x－y）（x2＋4xy＋y2）
求f（z），并单独用z表示之．
分析 在所给等式两边求偏导数，再利用解析函数的Cauchy－Riemann条件解出
然后再求出u，v．
解 f（z）＝u（x，y）＋iv（x，y）为解析函数，所以满足Cauchy－Riemann方程：
等式u－v＝（x－y）（x2＋4xy＋y2）两边对x，y 求偏导数，得
解得
从而
所以
φ＝－y3＋C， u＝3x2y－y3＋C， v＝－x3＋3xy2＋C
从而
3．确定正常数α，使得函数u（x，y）＝eαxsin3y为调和函数，并求以u（x，y）为实部的解析函数f（z）（要求用复变量z表示）．
分析 利用调和函数的定义求出α，其他同上两题．
解 根据调和函数的定义，有
所以α＝3，u（x，y）＝e3xsin3y，则
从而φ′＝0，φ＝C，v＝－e3xcos3y＋C，故
f（z）＝e3xsin3y＋i（－e3xcos3y＋C）＝－i（e3z－C）
4．设解析函数f（z）＝u＋iv，其中u＝φ（x2＋y2），φ具有二阶连续导数，φ（1）＝0，φ′（1）＝1，求：
（1）函数φ（t）的表达式；
（2）f（z）的表达式（单独用复变量z表示）．
分析 本题需要用到解析函数的实部、虚部均为调和函数这一结论．
解 由
＝4（x2＋y2）φ″＋4φ′＝0，解得
φ＝C1ln（x2＋y2）＋C2
由φ（1）＝0，φ′（1）＝1，得C1＝1，C2＝0．所以(www.xing528.com)
从而
5．计算复积分
dz，其中｜z｜＝2取逆时针方向．
解 记f（z）＝
，由留数定理得
6．计算复积分
dz，其中｜z｜＝3π取逆时针方向．
解 记
则f（z）的奇点为
z＝－2kπ＋2nπi， k＝0，±1，±2，…；n＝0，±1，±2，…
（1）当k＝0时，f（z）在｜z｜＝3π内有三个奇点z＝0，z＝2πi，z＝－2πi，且均为一级极点，所以
（2）当k＝－1时，f（z）在｜z｜＝3π内只有一个奇点z＝2π，且为一级极点，所以
（3）当k＝1时，f（z）在｜z｜＝3π内只有一个奇点z＝－2π，且为一级极点，所以
（4）当k＝±2，±3，… 时，f（z）在曲线｜z｜＝3π所围成的区域上解析，故
7．计算复积分
，其中C为任一包含z＝0，z＝1的正向简单闭曲线．
解 记f（z）＝
，则z＝0，z＝1分别是f（z）的三级极点和一级极点．由留数定理得
8．设f（z）＝
（1）把f（z）在去心邻域0＜｜z－1｜＜2内展成Laurent级数；
（2）把f（z）在以z＝－2为中心的各圆环域内展成Laurent级数．
分析 此题主要考查将函数在圆环域内展成Laurent级数的方法．
（2）以z＝－2为中心的各圆环域共有三个，即
｜z＋2｜＜1， 1＜｜z＋2｜＜3， 3＜｜z＋2｜＜＋∞
①｜z＋2｜＜1
②1＜｜z＋2｜＜2
③3＜｜z＋2｜＜＋∞
9．求f（z）＝
在单位圆内的奇点与留数．
解 z＝0是f（z）＝
在单位圆内的唯一奇点，且是一级极点，则有
10．利用留数计算定积分
解 记f（z）＝
它在上半平面内有3个一级极点
于是
11．利用留数计算定积分
解 记f（z）＝
，它在上半平面内有1个一级极点i，于是
而
得
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