《高等数学试题分析(2017)》单项选择题解析

1．设f（z）＝，则（　）

（A）z＝0是f（z）的三级极点　（B）z＝0是f（z）的二级极点

（C）z＝0是f（z）的一级极点　（D）z＝∞是f（z）的孤立奇点

解　由

可知z＝0是的三级零点，所以z＝0是f（z）的三级极点．

2．设f（z）＝，则（　）

（A）z＝0是f（z）的一级极点　（B）z＝0是f（z）的二级极点

（C）z＝0是f（z）的可去奇点　（D）z＝∞是f（z）的孤立奇点

解　由

知z＝0是f（z）的可去奇点．

3．下列命题中正确的是（　）

（A）如果f′（z0）存在，则f（z）在z0解析

（B）若z0是f（z）的奇点，则f（z）在z0不可导

（C）如果z0是f（z）和g（z）的一个奇点，则z0也是f（z）＋g（z）的奇点

（D）若f（z）＝u＋iv在区域D 内解析，且u为实常数，则在D 内f（z）是常数(www.xing528.com)

解　f（z）在z0处解析是指f（z）在z0点的某一邻域内可导，因此f（z）仅在z0可导不能保证f（z）在z0解析，故（A）不正确；f（z）不解析的点称为f（z）的奇点，故（B）不正确；取g（z）＝－f（z），说明（C）不正确；f（z）＝u＋iv在区域D 内解析，则函数u，v在区域D 内满足Cauchy－Riemann条件：ux＝vy，uy＝－vx，又由u 为实常数可知ux＝vy＝uy＝－vx＝0，所以在D 内v 为常数，从而f（z）＝u＋iv是常数，故选（D）．

4．下列命题中正确的是（　）

（A）若f（z）在z0处可导，则f（z）在z0处解析

（B）若z0是f（z）的奇点，则f（z）在z0处必不可导

（C）若f（z）在区域D 内可导，则f（z）在D 内解析

（D）若u（x，y），v（x，y）在区域D 内满足条件ux＝vy，uy＝－vx，则f（z）＝u（x，y）＋iv（x，y）在区域D 内解析

解　同上题知（A）和（B）皆错；u（x，y），v（x，y）在区域D 内满足条件ux＝vy，uy＝－vx仅是f（z）＝u＋iv在区域D 内解析的必要条件，而非充分条件，因此（D）也错．故选（C）．

5．下列命题中正确的是（　）

（A）区间I：｜x－x0｜＜r内的可导函数在x0点总能展成Taylor级数

（B）区间I：｜x－x0｜＜r内的任意次可导函数在x0点总能展成Taylor级数

（C）复域D：｜z－z0｜＜r内的可导函数在z0点总能展成Taylor级数

（D）复域D：｜z－z0｜＜r内的可导函数f（z）在z0点的Taylor级数总是收敛的但未必就收敛于f（z）

解　（A）和（B）中的条件都仅是实函数在x0点展成Taylor级数的必要条件而非充分条件；复域D：｜z－z0｜＜r内的可导函数f（z）必定在D 内解析，因此f（z）在z0点的Taylor级数总是收敛的，且收敛于f（z），因此（D）也错．故选（C）．