计算曲线积分27：从A到B的曲线积分计算

1．计算二次积分dy．

解　交换积分顺序，得

2．计算积分

分析　的原函数难以获得，应先交换积分次序．

解　sinxdx＝cos2－cos1

3．计算I＝dxdy，其中D：x2＋y2≤1，x＋y≥1．

解　利用极坐标计算，有

4．计算积分dxdy，其中D 是由直线y＝x，y＝2，x＝0围成的区域．

分析　e－y2的原函数不能用初等函数表示，所以应选择先x后y 的积分次序．

解

5．计算积分dxdy，其中D 是由三条曲线y＝x，y＝x2（x≥0）及y＝2所围成的区域．

分析作为y 的函数，其原函数难以获得，故应化为先x 后y 的二次积分．

6．计算二重积分dxdy，其中D 是由曲线y＝，y＝x与y＝2所围成的区域．

分析　先对y 积分时，被积函数的原函数无法求得，故先对x 后对y 积分．

7．计算二重积分，其中区域

D＝｛（x，y）｜（x－1）2＋（y－2）2≤1｝

8．计算二重积分（x＋y）2dxdy，其中D：

解　如右图所示区域关于y轴对称，设D1为区域D 的右半部分，则

9．计算二次积分

解　要计算这个二次积分，首先必须交换积分顺序，即

10．计算二重积分dA，其中D＝｛（x，y）｜x2＋y2≤x｝．

11．求I＝｜y－x2｜max｛x，y｝dxdy．

12．确定常数A 使sin（x＋y）dxdy＝1，其中D 是由y＝x，y＝2x，x＝所围成的区域．

分析　此题本质上是要计算二重积分sin（x＋y）dxdy 的值，而A 是该值的倒数．

解　根据题意，有

故A＝3．

13．计算下列积分：

（1）siny3dxdy，其中D 是由直线x＝0，y＝1和y＝x 所围成的区域；

（2）dxdydz，其中Ω是由圆柱面（x－1）2＋y2＝1（y≥0）与平面y＝0，z＝0，z＝a（a＞0）所围成的区域．

分析　在第（1）问中，应将二重积分转化为先x后y 的二次积分；在第（2）问中，根据Ω和被积函数的特点，可利用柱坐标计算．

14．计算下列积分：

（1）

（2）dxdydz，其中Ω是由曲面z＝1＋与z＝1，y＝0所围成的y≥0的部分．

分析　在第（1）问中，由于e－x4的原函数不能用初等函数表示，应先交换积分次序；在第（2）问中，根据积分域Ω和被积函数的特点，考虑用球坐标计算．

（2）在球坐标下，Ω为0≤φ≤π，0≤θ≤≤r≤2cosθ，则

15．求I＝dxdydz，其中

分析　根据被积函数和积分区域的特点，采用球坐标系进行计算比较简单．

解　I＝

16．计算I＝（z＋2xy）dxdydz，其中Ω为由半椭球面x2＋4y2＋z2＝1（z＞0）与锥面z＝所围成的区域．

分析　本题采用球坐标并不方便求解，采用直角坐标系进行计算比较简单．

解　因为2xy关于x 是奇函数，又Ω关于平面x＝0对称，所以2xydxdydz＝0，故

17．计算三重积分dV，其中Ω是锥面z＝与平面z＝h（h＞0）所围成的区域．

解　根据积分区域的对称性和被积函数的奇偶性，知（xy＋yz）dV＝0．对另一个积分，可采用多种方法进行，现用柱坐标，有

18．计算三重积分dxdydz，其中Ω是由z＝x2＋y2与z＝1所围成的区域．

解　可用切片法，得

19．计算曲面积分dS，其中Σ 为锥面z＝位于柱体x2＋y2≤2x内的部分．

分析　第一型曲面积分的计算通常是化为二重积分计算．

解　由z＝于是

则

20．计算曲线积分

其中C 是曲线y＝x2上从（1，1）到（2，4）的一段．

分析　曲线C的方程y＝x2，故在C上，积分中的第二项为零，第一项积分可直接化成定积分计算．

解　

21．计算曲线积分

其中C 为上半椭圆x2＋4y2＝1（y≥0），由点A（－1，0）到点B（1，0）．

分析　设P（x，y）＝xy2－3y＋2，Q（x，y）＝x2y＋5x＋y2，则＝8．曲线C不封闭，应添加曲线段后用Green公式．

解　如图，设C1为y＝0上从B 到A 的一段，则C＋C1构成闭曲线的顺时针方向．由Green公式得

22．计算曲线积分

其中C 为曲线y＝x2上从点A（－1，1）到点B（1，1）的一段．

分析　设P＝ey－12xy，Q＝xey－cosy，若化成定积分计算，则会出现形如的项，无法积分，故应该利用Green公式计算．

解　如图，添加线段：y＝1，x从1到－1，使C＋构成闭曲线的正向．由Green公式得

23．计算曲线积分

其中C为沿着半圆周x＝－（a＞0）从点A（0，－a）到点B（0，a）的弧段．

分析　与上题类似，添加线段后用Green公式，再对二重积分用极坐标计算．

解　如图，添加线段：x＝0，y从a到－a，使C＋成为闭曲线，方向为负向．由Green公式得

24．计算曲线积分I＝（12xy＋ey）dx－（cosy－xey）dy，其中曲线C为由点A（－1，1）沿曲线y＝x2到点O（0，0）再沿直线y＝0到点B（2，0）的路径．

解　可直接计算，有

25．确定λ的值，使曲线积分（x2＋4xyλ）dx＋（6xλ－1y2－2y）dy在xOy 平面上与路径无关；并当起点为（0，0），终点为（3，1）时，求此曲线积分的值．

分析　利用积分与路径无关的条件．

解　设

P（x，y）＝x2＋4xyλ，　Q（x，y）＝6xλ－1y2－2y

因为积分与路径无关，所以，经计算得λ＝3．代入计算积分，有

其中第一步是选择了先从（0，0）到（3，0），再从（3，0）到（3，1）的折线为积分路径．

26．计算积分

其中C 是由点沿曲线y＝cosx 到点的弧段．

分析　设P（x，y）＝由于P，Q的分母形式与曲线C 的方程形式不一致，故不宜化为定积分计算．又因为

故可利用曲线积分与路径无关或通过求原函数来计算积分．

解法一　当x＋y≠0时所以在x＋y＞0的区域内积分与路径无关．因此

解法二　当x＋y ≠0时所以当x＋y>0时

有原函数u（x，y）＝因此I＝u（x，y）

注　请读者考虑，能否用折线AOB 代替积分曲线C？

27．计算曲线积分I＝，其中C 是以A（－1，0）为起点，B（1，0）为终点的位于xOy 平面上y＜0部分的任一光滑曲线．

分析　设P（x，y）＝当（x，y）≠（0，0）时，有

由于曲线C的任意性，无法直接计算，显然需要利用在下半平面上积分与路径无关的性质把曲线C 换成曲线C1，使在C1上的积分易于计算．从P，Q 的形式看，应选C1为椭圆．

解　由于（x，y）≠（0，0）时，故在不含原点的单连通区域内，曲线积分与路径无关．如图所示，取C1：x2＋9y2＝δ2（y≤0），其中δ＞0且适当小，使C1与C 不相交，方向从A1（－δ，0）到B1（δ，0），则

其中C1取为参数方程：x＝δcost，y＝δsint，π≤t≤2π．

28．计算曲线积分I＝，其中C是由点沿曲线x＝到点的弧段．

分析　设P（x，y）＝，Q（x，y）＝，因为

其中k∈N，所以可选取适当的积分路径或利用原函数计算．

解法一　因为

其中k∈N，所以在不含点（0，kπ）的单连通域内曲线积分与路径无关．如下图，取折线AEFB 计算积分，其中，则

解法二

29．计算第一型曲线积分ds，其中C 为双曲线：（x2＋y2）2＝x2－y2．

解　双曲线的极坐标方程为ρ2＝cos2θ，根据曲线的对称性与函数的奇偶性，得

30．计算第二型曲线积分dx＋xydy，其中C 为由y＝sinx，y＝2sinx（0≤x≤π）所围成的闭曲线，取逆时针方向．

解　利用Green公式，D 为由C 围成的区域，则

31．试计算曲线积分，其中C是以点（2，0）为圆心，半径为R（R ≠2）的圆周，取逆时针方向．(www.xing528.com)

分析　要分R＜2与R>2两种情况讨论．

解　设P（x，y）＝当（x，y）≠（0，0）时，有

（1）当R＜2时，由Green公式有

其中DR为C 所围成的圆形区域．

（2）当R>2时，在圆C内作椭圆Cδ：x2＋4y2＝δ2（δ＞0），取逆时针方向．则在C 与所围成的区域D 内用Green公式得

于是

32．计算曲线积分，其中C 为xOy 平面上任一不通过原点的光滑闭曲线．

分析　需分原点在C 内与C 外两种情况讨论．

解　设P（x，y）＝，则当（x，y）≠（0，0）时有

（1）当C 不包围原点时，由Green公式得dxdy＝0．

（2）当C 包围原点时，在C 内作Cδ：x4＋y4＝δ2（δ＞0），取逆时针方向，则由Green公式可得

其中Dδ是Cδ所围成的区域．

综上，对任意不通过原点的光滑闭曲线C，都有

33．已知C 为平面上任一不经过原点的闭曲线，问常数α为何值时，曲线积分

分析　设P（x，y）＝．P，Q 在原点无定义，应对C是否包含原点在内分别讨论．

解　（1）设C不包含原点，其所围成的区域为D．因为P，Q在D 上有一阶连续偏导数，所以＝0等价于又

因此由得α＝1．

（2）设C包含原点（不妨设C取正方向），在C内取正向圆周Cδ：x2＋y2＝δ2，则在与C 所围成的区域G 上用Green公式得

由于C 为任一包含原点的闭曲线，所以上式对任意区域G 成立，因此α＝1．

综上，当α＝1时，积分

34．计算曲线积分

其中C 为摆线x＝t－sint－π，y＝1－cost从t＝0到t＝π的一段．

分析　分析出积分与路径无关，选择恰当的路径求出积分．

解　设P（x，y）＝Q（x，y）＝则当（x，y）≠（0，0）时，有Qx＝Py．因而在不包含原点的单连通区域内积分与路径无关，故可取一条特殊的路径L1＋L2．其中

L1：x＝－π，0≤y≤2；　L2：y＝2，－π≤x≤0

所以

35．计算

其中C：其方向与z轴正向成右手系．

分析　因为曲线C落在平面z＝4上，故积分的第三部分－yz2dz＝0，即

把C 看成平面曲线，再利用Green公式计算．当然本题也可以将曲线C 参数化，再代入计算．

解＝8π，其中D 是平面区域x2＋y2≤4．

36．在过点的曲线族y＝kcosx（k＞0）中，求一条曲线L，使沿该曲线从A 到B 的积分（1＋y3）dx＋（2x＋y）dy 的值最大．

分析　这是一道计算曲线积分和求函数极值的综合题，应先求出曲线积分的值（为k的函数），再求最大值．

解　设Lk：y＝kcosx，则

所以I′（k）＝4－4k2，令I′（k）＝0，得驻点k＝±1．由于k＞0，故只有唯一驻点k＝1．又I″（1）＝－8＜0，所以当k＝1，即L为y＝cosx时，曲线积分取最大值．

37．设f（x）具有连续导数，满足f（x）＞0，f（1）＝，且在平面区域x>1内的任一闭曲线C 上的积分dx－lnf（x）dy＝0，试求函数f（x）．

解　令

由题设可知，即exf（x）－令g＝，可得一阶线性非齐次微分方程g′＋g＝ex．该方程通解为g（x）＝（C 为积分常数）．由定解条件f（1）＝，可得C＝2．所以函数f（x）＝

38．设f（x）具有二阶连续导数，f（1）＝1，f′（1）＝7，求f（x），使曲线积分

与路径无关，并对点A（1，1），B（0，3）计算曲线积分的值．

解　令

P（x，y）＝－32f（x）y，　Q（x，y）＝x2f′（x）－11xf（x）

因为曲线积分与路径无关，所以，即

－32f（x）＝2xf′（x）＋x2f″（x）－11f（x）－11xf′（x）

整理得Euler方程

x2f″（x）－9xf′（x）＋21f（x）＝0

令x＝et，原方程可转化为二阶线性齐次微分方程＋21f＝0，其特征方程为r2－10r＋21＝0，两个单重根为3和7，所以f＝c1e3t＋c2e7t＝c1x3＋c2x7．由定解条件f（1）＝1，f′（1）＝7，可知解得c1＝0，c2＝1，所以f（x）＝x7．且

39．计算第一型曲面积分dS，其中S是锥体≤z≤1的表面．

解　根据曲面的对称性和被积函数的奇偶性，知ydS＝0，则

40．计算第二型曲面积分dy∧dz＋x（z－y）dx∧dy，其中S为锥面z＝被平面z＝1，z＝2所截得的曲面的外侧．

解　用Gauss公式，先补两个面，即Σ1取下侧，Σ2：取上侧，Ω为由这三个曲面所围成的立体．则

41．计算曲面积分I＝dy∧dz－2yzdz∧dx＋（3－z2）dx∧dy，其中Σ：z＝2－x2－y2（0≤z≤2），取上侧．

解　补一个面Σ1取下侧，Σ1与Σ所围区域记为Ω，则由Gauss公式，得

42．计算曲面积分

其中Σ 是半球面z＝的上侧．

解　如右图所示，添加曲面Σ1取下侧．由Gauss公式得

43．计算曲面积分

其中Σ 为曲面z＝x2＋y2（0≤z≤H）的下侧．

解　添加曲面取上侧．由Gauss公式得

44．计算曲面积分

其中Σ 为曲面x2＋y2＝4－z在z≥0部分的上侧．

解　添加曲面取下侧．由Gauss公式得

45．计算曲面积分

其中Σ 为曲面z＝x2＋y2（0≤z≤1）的下侧．

解法一　添加曲面取上侧．由Gauss公式得

解法二　直接计算，即有

其中Dyz为由z＝y2，z＝1围成的区域．又

所以I＝0－

46．计算曲面积分

其中Σ 为曲面z＝1＋的上侧．

解　添加曲面取下侧．由Gauss公式得

47．计算曲面积分

其中Σ为柱面x2＋y2＝4（0≤z≤2）的外侧．

分析　Σ不是封闭曲面．若添加圆柱体的上下底面，使与Σ 构成封闭曲面，但在此封闭曲面内P，Q，R在原点没有一阶连续偏导数（在原点无定义），因而不能直接用Gauss公式．注意到被积函数的分母为4，故可先将分母化成4，然后再添加曲面利用Gauss公式求解．本题也可以考虑直接化成二重积分计算．

解法一　因为Σ为柱面

x2＋y2＝4　（0≤z≤2）

所以

添加曲面下侧，则

由Gauss公式得

故I＝4π－2π－0＝2π．

解法二　直接化成二重积分计算．因为Σ 的外法方向与z 轴方向垂直，所以

把Σ 分成左右两侧考虑，则

其中Dzx为Σ 在zOx 平面上的投影区域．

类似有

综上，得I＝2π．

48．计算曲面积分

其中S 是立方体V：｜x｜≤2，｜y｜≤2，｜z｜≤2的表面外侧．

分析　设

显然，P，Q，R 在原点没有定义，从而在S 围成的区域上不满足Gauss定理的条件，不能直接用Gauss公式．注意到Px＋Qy＋Rz＝0，（x，y，z）≠（0，0，0），所以可以考虑在S 内作一个小球面Sε：x2＋y2＋z2＝ε2，取内侧，则Sε（ε＞0）与S 构成一个闭曲面的外侧，再在其上用Gauss公式．

解　在S内作一个小球面Sε：x2＋y2＋z2＝ε2（ε＞0），取内侧，则Sε与S 构成一个闭曲面的外侧．由Gauss公式得

故

其中最后一步可以利用Gauss公式得到，请读者自己完成．

49．设S是锥面z＝及平面z＝1，z＝2所围成的立体表面的外侧，求曲面积分dx ∧dy．

分析　将曲面分成三块，分别化为二重积分求解．

解　曲面S分为三部分，即S1：z＝2，x2＋y2≤4，上侧；S2：z＝1，x2＋y2≤1，下侧；S3：z＝，1≤x2＋y2≤4，下侧．又

综上得