高数试题分析：单项选择(2017)

1．设函数f（x，y）为连续函数，则yf（x2，y2）dy＝（　）

解　表达式yf（x2，y2）dy 是关于变量x 的偶函数，故选（A）．

2．设区域D 是由直线y＝x，y＝－x和x＝1所围成，D1是D 位于第一象限的部分，则（　）

解　首先积分区域D 关于直线y＝0对称，其次被积函数xy 是y 的奇函数，而被积函数ysin（xy）是y 的偶函数，利用奇偶函数在对称区域上的积分性质可知应选（B）．

3．球体x2＋y2＋z2≤4a2在柱面x2＋y2＝2ax（a＞0）内的那部分的体积V＝（　）

解　根据图形可知体积V 是其在第一卦限中体积的4倍，再利用极坐标计算即可知应选（C）．

4．已知L 是由直线x＝0，y＝0，x＝2和y＝2所围成的图形的边界曲线，则xyds＝（　）

（A）4　（B）8　（C）0　（D）－4

解　这是一道计算第一型曲线积分的题，将积分曲线分成四个直线段分别计算即可知选（B）．

5．设空间区域Ω1：x2＋y2＋z2≤R2，z≥0；Ω2：x2＋y2＋z2≤R2，x≥0，y≥0，z≥0．则有（　）

解　由于Ω1是上半球域，它关于平面x＝0以及平面y＝0对称，又被积函数x，xyz 关于x 是奇函数，y 关于y 是奇函数，所以

又被积函数z关于x，y 是偶函数，所以zdV，故选（C）．

6．设Ω是由曲面z＝x2＋y2，y＝x，y＝0，z＝1在第一卦限所围成的闭区域，若f（x，y，z）在Ω上连续，则f（x，y，z）dxdydz＝（　）

解　本题考查将三重积分转化为三次积分的能力．从给定的4个选项中知道，第一次积分是关于z的，因此应将Ω向xOy 平面投影，得出投影平面区域D．于是

其中D 是由直线y＝x，y＝0与曲线x＝所围成的区域．所以

故选（C）．

7．设在上半平面上，曲线积分与路径无关，则n＝（　）

（A）－1　（B）1　（C）　（D）2

解　设P（x，y）＝，Q（x，y）＝，则

曲线积分在上半平面上与路径无关等价于在上半平面上处处有，所以n＝1，故选（B）．

8．设f（x）连续可微，且f（0）＝2．若沿任意光滑闭曲线C，有(www.xing528.com)

则f（x）＝（　）

（A）e－x＋e2x　（B）3e－x－e2x　（C）3e2x－e－x　（D）e－x－e2x

解　设P（x，y）＝［3e2x－f（x）］y，Q（x，y）＝f（x），沿任一闭曲线C 积分等于0，说明曲线积分与路径无关，所以处处成立，即f′（x）＋f（x）＝3e2x．这是一阶线性微分方程，解得f（x）＝e2x＋Ce－x．由f（0）＝2得C＝1，所以f（x）＝e－x＋e2x，故选（A）．

9．已知为某函数的全微分，则α＝（　）

（A）－1　（B）0　（C）1　（D）2

解　设

而为某函数的全微分等价于，即

得α＝2，故选（D）．

10．设Σ 为上半球面z＝，则曲面积分的值为（　）

解　因为＝2，所以

故选（D）．

11．球体x2＋y2＋z2≤4a2与柱体x2＋y2≤2ax（a＞0）的公共部分的体积等于（　）

解　选项（A）和（B）因极坐标的面积元素表达式中少了ρ，都为错，选项（D）只算了应求体积的一半，丢了z≤0的部分，因此选（C）．

12．设曲面Σ：x2＋y2＋z2＝1（y≥0，z≥0），平面区域D：x2＋y2≤1（x≥0），则（　）

解　由对称性知，选项（A）的等号左右两侧积分皆为零，故应选（A）；选项（B）和（C）的等号两侧都是一侧等于零，另一侧不等于零，故不能选；选项（D）的等号两端经计算值不相等．

13．设Σ：｜x｜＋｜y｜＋｜z｜＝1，则（x＋｜y｜）dS＝（　）．

解　由对称性定理dS．于是

故正确答案为（C）．

14．二次积分f（ρcosφ，ρsinφ）ρdρ可以写成（　）

解　由题目所给二次积分，可看出积分区域是一个圆心在，半径为的右半圆（位于第一象限内），由此可看出选（A），其余选项皆为错．