【摘要】：1．设函数z＝z（x，y）由方程x2＋y2＋z2＝xyf（z2）所确定，其中f为可微函数，求证：x分析通过隐函数求导法则求出的表达式即可证明．证令F（x，y，z）＝x2＋y2＋z2－xyf（z2），则于是2．求f（x，y）＝lnx＋3lny在x2＋y2＝4r2（r＞0）上的最大值，并由此证明：对于任意正数a，b，有ab3≤27分析这是利用极值证明不等式的问题，通过选择适当的目标函数和约束条件
1．设函数z＝z（x，y）由方程x2＋y2＋z2＝xyf（z2）所确定，其中f为可微函数，求证：x
分析 通过隐函数求导法则求出
的表达式即可证明．
证 令F（x，y，z）＝x2＋y2＋z2－xyf（z2），则
于是
2．求f（x，y）＝lnx＋3lny在x2＋y2＝4r2（r＞0）上的最大值，并由此证明：对于任意正数a，b，有ab3≤27
分析 这是利用极值证明不等式的问题，通过选择适当的目标函数和约束条件来证明．
证 令L（x，y，λ）＝lnx＋3lny＋λ（x2＋y2－4r2），通过解方程组
得唯一驻点（x0，y0）＝
，相应的函数值为ln r＋3ln
因为当x→0＋或y→0＋时，lnx＋3lny→－∞，所以f（x，y）在x2＋y2＝4r2上的最大值为lnr＋3ln
，即
由上式即得
．令x2＝a，y2＝b，则有ab3≤27
3．证明：函数
在点（0，0）处可微．
分析 讨论函数在一点的可微性通常是用可微的定义．(www.xing528.com)
证 首先
同理有fy（0，0）＝0．又
即
由定义知，函数f 在点（0，0）可微．
4．设函数
证明：fxy（0，0）≠fyx（0，0）．
证 根据题设，有
且当y ≠0时，有
当x ≠0时，有
故有
所以fxy（0，0）≠fyx（0，0）．
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