高数试题分析：求解微分方程的实际应用问题

1．设f（x）在x＞0时可导，且满足xf（x）＝3x＋f（t）dt，求f（x），并求曲线y＝f（x）与x＝1，y＝0围成的平面图形的面积．

分析　本题关键是求出f（x）．这是积分方程，可化为微分方程，再求f（x）．

解　方程xf（x）＝3x＋f（t）dt两边对x 求导，得

积分得f（x）＝3lnx＋C．又由条件知f（1）＝3，于是C＝3，所以f（x）＝3lnx＋3．令3lnx＋3＝0，得曲线y＝f（x）与x轴的交点是（e－1，0）．因此y＝f（x），x＝1与y＝0三曲线围成的平面图形面积为

2．设f′（x）连续，且f（x）满足关系式f（x）＝x＋tf′（x－t）dt，求f（x）．

分析　首先要把题中给出的积分方程转化为微分方程，需要注意的是被积函数tf′（x－t）内含有x，在对变上限积分求导前要用换元法把该被积函数中的x换出来．

解　令u＝x－t，则

两边对x 求导得

解此微分方程，得f（x）＝Cex－1，由条件f（0）＝0可得C＝1，故f（x）＝ex－1．

3．已知函数f（x）在定义域I上的导数大于零，若对任意的x0∈I，曲线在点（x0，f（x0））的切线与直线x＝x0及x 轴所围区域的面积皆为4，且f（0）＝2，求f（x）的表达式．

解　曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为

y－f（x0）＝f′（x0）（x－x0）

令y＝0，得X0＝x0－，由题意得

于是y＝f（x）满足的微分方程为8y′＝y2，容易求得其通解为－＝x＋C，利用初始条件y（0）＝2，有C＝－4，于是所求函数为f（x）＝

4．设x＞－1时，可微函数f（x）满足f′（x）＋f（x）－＝0，且f（0）＝1，试证：当x≥0时，有e－x≤f（x）≤1成立．

解　由题设知f′（0）＝－1．所给方程可变形为(www.xing528.com)

两端对x 求导，并整理得（x＋1）f″（x）＋（x＋2）f′（x）＝0．这是一个可降阶的二阶微分方程，可用分离变量法求得f′（x）＝

由于f′（0）＝－1，得C＝－1，有f′（x）＝－＜0，因此f（x）单调减少，而f（0）＝1，所以当x≥0时，f（x）≤1．对f′（x）＝－＜0在［0，x］上进行积分，得

故当x≥0时，有e－x≤f（x）≤1成立．

5．某容器形状是由曲线x＝f（y）绕y轴旋转而成的立体，f（0）＝0，y≥0，x＝f（y）连续，今按速度2t　cm3／s往内倒水，为了能使水面上升的速度为cm／s，问f（y）应是什么样的函数？

分析　这是有关微分方程的实际应用题，关键在于如何根据具体问题建立数学模型．

解　设从t＝0开始经过时间Ts，往容器中注入的水的水面高度为Tcm．此时高度为Tcm 的旋转体体积等于容器内倒入的水的体积，所以有

对T 求导，得＝T，故f（y）＝±（y≥0）．

6．设函数y＝y（x）由参数方程

所确定，其中φ（t）具有二阶导数，且φ（1）＝，φ′（1）＝6，若，求函数φ（t）．

解　由题可得

由于

此即

所以

由φ（1）＝，φ′（1）＝6，得C1＝C2＝0，所以