计算题求微分方程通解和特解

1．求微分方程ydx＋＝0的通解．

分析　这是可分离变量方程，用分离变量法来解．

解　原方程可写成，两边积分，得

故所求的通解为

2．求方程xy＝x2＋y2满足条件y（e）＝2e的特解．

分析　这是齐次方程的定解问题．

解　原方程可写成

令＝u，则y＝xu＝u＋x，代入上式得

即udu＝，两边积分得u2＝ln（Cx）．

把u＝代入，得＝ln（Cx）．由初始条件y（e）＝2e，得C＝e．故所求特解为

注　本题也可化为以y2为未知函数的线性微分方程来解．

3．解微分方程

分析　这个方程可化为一阶线性微分方程求解．但是，也可选择更简单的方法．

解法一　将微分方程写成（（x2－1）y）′＝cosx，两边积分，整理得

由y（0）＝－1，得C＝1．故所求特解为y＝

解法二　将微分方程写成，由一阶线性微分方程的通解公式，得

由y（0）＝－1，得C＝1．故所求特解为y＝

4．求微分方程xy″＋y′＝0满足条件y（e）＝e，y′（e）＝1的特解．

解　原方程可化为（xy′）′＝0，于是xy′＝C1．将y′（e）＝1代入得C1＝e，从而y′＝，得y＝eln｜x｜＋C2．再将y（e）＝e代入可得C2＝0，故所求的特解为y＝eln｜x｜．

注　该方程也可用降阶法来求解．

5．求微分方程yy″＝2（y′）2的通解．

分析　这是形如y″＝f（y，y′）的可降阶的二阶微分方程，不显含变量x．

解　令z＝y′，则y″＝z，代入原方程得y＝2z，即＝2，解之得z＝C1y2，即y′＝C1y2，分离变量即可解得原方程的通解为－＝C1x＋C2．

6．求微分方程2ydx－（y2－6x）dy＝0的通解．

分析　原方程对y而言不是线性微分方程，但是是以x为未知函数的线性微分方程．

解　将原方程改写为．则上式是以x 为未知函数的一阶线性方程．由一阶线性微分方程的通解公式，得原方程的通解为

7．设f（x）为连续函数．

（1）求初值问题的解，其中a是正常数；

（2）若｜f（x）｜≤k（k为常数），求证：当x≥0时，有｜y（x）｜≤（1－e－ax）．

解　（1）由一阶线性微分方程的通解公式，得原方程的通解为

因为

所以

由y（0）＝0可得C＝0，故初值问题的解为y（x）＝e－axf（t）eatdt．

（2）若｜f（x）｜≤k，则有

注　初值问题的解也可用如下方法求得：在原方程两端同乘以eax，得

y′eax＋ayeax＝f（x）eax

即

（yeax）′＝f（x）eax

所以

8．求微分方程y″－y＝0的一条积分曲线，使其在原点与直线y＝x 相切．(www.xing528.com)

分析　先求二阶微分方程y″－y＝0的通解，然后由定解条件求出特解．这里的定解条件有两个，即y（0）＝0，y′（0）＝1．

解　根据题意，可知方程y″－y＝0的通解是y＝C1e－x＋C2ex．由已知条件知y（0）＝0，y′（0）＝1，代入通解中得C1＝－，C2＝，故所求的积分曲线方程为

9．求微分方程y″－6y′＋5y＝eαx（α为常数）的通解．

分析　这是一道典型的求二阶常系数线性非齐次方程的通解问题，难点在于要讨论常数α．

解　原方程的特征方程为r2－6r＋5＝0，特征根为r1＝1，r2＝5，故对应的齐次方程的通解为＝C1ex＋C2e5x．

当α≠1，5时，设原方程的特解为y＊＝Aeαx，代入原方程得A＝于是

当α＝1或5时，设原方程的特解为y＊＝Axeαx，代入原方程得A＝，于是

故原方程的通解为

10．求微分方程y″－2y′－3y＝e－x＋1的通解．

分析　分别求出方程y″－2y′－3y＝e－x和方程y″－2y′－3y＝1的特解，，则y＊＝＋是原方程的特解，然后加上y″－2y′－3y＝0的通解即可．

解　齐次方程y″－2y′－3y＝0的通解为＝C1e3x＋C2e－x．

对于方程y″－2y′－3y＝e－x，由于r＝－1是特征方程的根，因此可设其特解为＝Axe－x，代入方程可得A＝－，即＝－xe－x．

对于方程y″－2y′－3y＝1，设其特解为＝B，代入方程可得B＝－，所以有＝－

从而原方程的特解为y＊＝＋＝－，其通解为

11．求初值问题的解．

解　对应齐次方程的特征方程为r2＋1＝0，特征根为r＝±i，于是齐次方程的通解为＝C1cosx＋C2sinx．

非齐次方程y″＋y＝x 的一个特解为＝x．

对于非齐次方程y″＋y＝sinx，可考虑方程y″＋y＝eix，由于r＝i是特征方程的根，因此可设其特解为y2＝Axeix，代入该方程得A＝－．取y2＝－xeix的虚部，即得非齐次方程y″＋y＝sinx 的特解为＝－cosx．

因而原方程的特解为

故原方程的通解为

再代入初值条件可求得C1＝1，C2＝－1．所以原问题的解为

12．求微分方程y″－3y′＋2y＝2xex满足初值条件y（0）＝0，y′（0）＝0的特解．

解　原方程所对应的齐次方程的特征方程为

r2－3r＋2＝0

解得特征根为r1＝1，r2＝2，得齐次方程的通解为

＝C1ex＋C2e2x

设非齐次方程的特解为

y＊＝（ax2＋bx）ex

将其代入原方程，解得a＝－1，b＝－2，则原微分方程的通解为

y＝C1ex＋C2e2x－（x2＋2x）ex

再代入初值条件y（0）＝0，y′（0）＝0，得C1＝－2，C2＝2，所以特解为

y＝2e2x－（x2＋x＋2）ex

13．求微分方程y″＋y＝cos2x的一个特解y＝y（x），使得该特解所表示的曲线y＝y（x）在原点处与直线y＝x 相切．

解　该题实质是求微分方程满足初值条件y（0）＝0，y′（0）＝1的特解，首先求该方程的通解．

方程可写为

其所对应的齐次方程的通解为

＝C1cosx＋C2sinx

对非齐次方程应用叠加原理，求得y″＋y＝的一个特解为y1＝；y″＋y＝cos2x 的一个特解为y2＝－cos2x．故原方程的通解为

再由初始条件，解得C1＝－，C2＝1，所以