应用题求心脏线与圆所围公共部分面积，由方程组所围图形面积

1．求心脏线ρ＝a（1＋cosθ）与圆ρ＝a（a＞0）所围成图形公共部分的面积．

解　设所围成的面积为S，则dS＝ρ2（θ）dθ，由对称性知

故S＝πa2－2a2．

2．求由x2＋≤1和＋y2≥1所围成的图形的面积．

解　由方程组解得交点（y＞0）．设x2＋＝1与正y 轴的交点为C＋y2＝1与正y 轴的交点为D，则要求面积为ACBDA 所围成图形的面积的2倍．又曲线ACB 的方程为y＝，曲线ADB 的方程为y＝于是，面积

令x＝sint，则

同理可得S2＝，于是面积S＝

3．如右图所示，求阴影部分的面积和S1＋S2的最大值和最小值．

解　据定积分的几何意义，可得

于是

令［S1（x）＋S2（x）］′＝2x（2x－1）＝0，得到x＝0，x＝．又

从而可知面积和的最大值为，最小值为

4．求函数f（x）＝｜cost｜dt在区间［0，π］上的最大值和最小值．

分析　f（x）在［0，π］上可导，因此要求最大值和最小值，只要利用变限求导公式求出f 的驻点，再求出f 在驻点及区间端点上的函数值，比较便得．

解　因为

令f′（x）＝0，得到驻点x1＝，x2＝．又因为

所以f（x）在［0，π］上的最大值为，最小值为＝2－

5．求由上半圆周y＝与直线y＝x所围成的图形绕直线x＝2旋转一周所得旋转体的体积．

分析　首先利用微元法写出体积微元，然后写出体积的定积分表达式后进行计算．

解　对应于区间［x，x＋dx］的体积微元为

于是

又

故V＝

6．在曲线y＝x2－12上求一点P（x，y）（x＞0，y＜0），使过该点的切线与曲线及两坐标轴所围图形的面积最小，并求出最小面积．

解　过点P（x，y）的切线方程为Y－y＝2x（X－x），切线在x轴和y 轴上的截距分别为x－和y－2x2，所围图形的面积

令

得到x＞0时的唯一驻点x＝2．当x＜2时＜0；当x＞2时＞0．故x＝2为极小值点，且是最小值点，所求点为P（2，－8），最小面积Smin＝32－

7．设D1，D2分别为图中阴影部分所示的平面图形．

（1）求D1，D2分别绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积V1（t），V2（t）；

（2）证明：在（1，3）内存在唯一的一点ξ，使得

V1（ξ）＝2V2（ξ）

解　（1）根据题意，得

（2）设(www.xing528.com)

则F（x）∈C［1，3］，且

由零点存在定理知，存在ξ∈（1，3），使得F（ξ）＝0，即V1（ξ）＝2V2（ξ）．

又因F′（x）＝π（e2x－e2）＋2π（e6－e2x）＞0，x∈（1，3），所以F（x）在（1，3）内严格单调增加，故在（1，3）内存在唯一的一点ξ，使得V1（ξ）＝2V2（ξ）．

8．已知曲线C1：y＝x2，C2：y＝x2，试求一条过原点的连续曲线C：y＝f（x）（x≥0），使得过C1上任一点P（x，y）分别作x轴和y 轴的垂线所生成的如图所示的两块图形A，B 的面积始终保持相等．（假设f（x）单调增）

解　由于f（x）单调增且连续，所以其反函数f－1（x）存在，且单调增、连续．面积A 和B 分别为

方法一　由题设A＝B，得

上式两边对x 求导，得f－1（x2）＝x，即f－1（y）＝所求连续曲线

方法二　由题设A＝B，得

两边对y 求导，得－f－1（y）＝即f－1（y）＝所求连续曲线

9．过点（0，1）作曲线L：y＝lnx 的切线，切点为A，又L 与x 轴交于B 点，区域D 由L 与直线AB 围成，求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．

解　如右图所示，设点A 的坐标为（a，lna），则

解得a＝e2，故点A 的坐标为（e2，2）．直线BA 的方程为

区域D 的面积为

所求旋转体的体积为

10．设当x∈［2，4］时成立不等式ax＋b≥lnx，其中a，b为常数，试求a和b，使得积分I＝（ax＋b－lnx）dx 取得最小值．

分析　首先I的值与a，b有关；其次，由I的表达式可知，I即为y1＝ax＋b，y2＝lnx 及x＝2，x＝4所围图形的面积，其最小值应在y1与y2相切时取得，利用切点找出a，b之间的关系（或a，b用切点坐标表示）．这样，问题就转化为在曲线y＝lnx（2≤x≤4）上求一点P（x，y），使该点的切线与y＝lnx及x＝2，x＝4所围图形的面积最小．

解　首先

其中，A＝lnxdx 是常数．

其次，设直线y1＝ax＋b与曲线y2＝lnx 相切于点P（x，y），则有

将上式代入I的表达式，得

令I′（x）＝＝0，得到唯一驻点x＝3．又当2＜x＜3时，I′（x）＜0；当3＜x＜4时，I′（x）＞0．所以x＝3为I（x）的最小值点，此时a＝，b＝ln3－1．

11．设f（x）在［0，1］上连续，证明：存在x0∈（0，1），使在［0，x0］上以｜f（x0）｜为半径的圆柱体体积等于在［x0，1］上以y＝f（x）为曲边的曲边梯形绕x 轴旋转所得旋转体的体积．

证　任给x∈（0，1），即要证明方程πxf2（x）＝πf2（t）dt在（0，1）内有解．为此，令

则g（0）＝0＝g（1），且g在［0，1］上可导，由Rolle定理，存在x0∈（0，1）使g′（x0）＝0，即

12．过原点引抛物线y＝a（x＋1）2＋3（a＞0）的两条切线，切点分别为A，B．

（1）求两条切线OA，OB 与此抛物线所围部分的面积I（a）；

（2）求I（a）的最小值．

解　（1）设切点为（x0，y0），则切线方程为y－y0＝2a（x0＋1）（x－x0）．将x＝0，y＝0代入，得

a（x0＋1）2＋3＝2ax0（x0＋1）

解得x0＝±则

（2）令

解得a＝，且a＝是I（a）的唯一的极小值点，因而是I（a）的最小值点，所以