高数试题分析：2017年单选题解析

1．设ln（1＋t）dt，g（x）＝ex－x－1，则当x→0时，f（x）是g（x）的（　）

（A）等价无穷小　（B）同阶但非等价无穷小

（C）高阶无穷小　（D）低阶无穷小

解　因为

所以当x→0时，f（x）与g（x）是同阶但非等价无穷小，故选（B）．

2．设sinxdx（k＝1，2，3），则有（　）

（A）I1＜I2＜I3　（B）I3＜I2＜I1

（C）I2＜I3＜I1　（D）I2＜I1＜I3

解　由函数y＝ex2sinx的简图（见右图）可以看出：它在区间（0，π）上取正值，在区间（π，2π）上取负值，在区间（2π，3π）上取正值，其振幅一个比一个大得多．设曲线与x轴所围的三块图形的面积分别为S1，S2，S3，则S1＜S2＜S3．应用定积分的几何意义得

于是I2＜I1＜I3，故选（D）．(www.xing528.com)

3．方程dt－cosx＝0在区间（0，＋∞）内（　）

（A）有且仅有一个实根　（B）有且仅有两个实根

（C）有无穷多个实根　（D）无实根

解　令F（x）＝dt－cosx，则F（0）＝－1F（x）＝＋∞，由零点定理可知F（x）在（0，＋∞）内至少有一个零点．又因为

可知F（x）在（0，＋∞）内单调增加，所以F（x）＝0在（0，＋∞）内至多有一个实根．综上所述，F（x）＝0在（0，＋∞）内有且仅有一个实根．所以选（A）．

4．双纽线（x2＋y2）2＝x2－y2所围成的图形的面积可用定积分表示成（　）

解　双纽线的极坐标方程为r2＝cos2θ，图像见右图．由于对称性，它所围图形的面积为

所以选（A）．