比较数πe与eπ的大小

1．试比较数πe与eπ的大小．

分析　原命题等价于比较数elnπ与π的大小．将数elnπ－π看成某一函数在自变量取某一值时的函数值，于是可通过引进辅助函数的方法讨论．

解　令f（x）＝elnx－x（x≥e），则f（e）＝0，且

所以f（x）单调递减．又f（x）在x＝e处连续，故f（x）＜f（e）＝0，于是elnx＜x（x＞e）．令x＝π，有elnπ＜π，从而πe＜eπ．

2．设x＞0，求满足不等式lnx≤A的最小正数A．

分析　此问题实际上是求函数在（0，＋∞）上的最大值．

解　令f（x）＝（x＞0），则f′（x）＝（2－lnx）．令f′＝0，求得唯一驻点x＝e2．又当0＜x＜e2时，f′（x）＞0；当e2＜x＜＋∞时，f′（x）＜0．所以x＝e2是f（x）的极大值点，也是最大值点，因此A＝f（e2）＝即为所求．

3．某旅游公司组队一日游，规定不超过15人时，每人交40元；超过15人时，每超一人团队每人减1．5元．问多少人组队，公司收入最大？

解　设团队有x 人，公司收入为f（x），则

即

于是

令f′（x）＝0，得唯一驻点x＝≈20．8．根据实际情况（人数是正整数），公司最大收入为max｛f（15），f（20），f（21）｝＝f（21）＝651，即当组队人数为21时，收入最大．

4．作半径为r的球的外切正圆锥，问此圆锥的高h为何值时，其体积V最小，并求出最小体积．

解　设圆锥底半径为R，由得R2＝，于是圆锥体积为

从而＝0，得唯一驻点h＝4r．由实际意义可知圆锥的最小体积必存在，所以当h＝4r时V 取最小值，且Vmin＝V（4r）＝

5．设f（x）在（0，＋∞）上可导，且f（x）＝－x2　f′（x）＞0，试在由y＝f（x）的切线与两坐标轴所围成的一切三角形中，求出面积最小时切点的坐标．

解　过曲线y＝f（x）上点（x，y）的切线方程为Y－y＝f′（x）（X－x），则切线在x轴和y轴上的截距分别为与y－xf′（x）．于是切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为

因为y＝f（x）＝－x2　f′（x），所以S＝（x＋1）2　f（x）（x>0），于是

令S′（x）＝0，得唯一驻点x＝1．又当0＜x＜1时，S′（x）＜0；当x＞1时，S′（x）＞0．所以当x＝1时三角形的面积最小，此时切点的坐标为（1，f（1））．

6．在椭圆＝1（a>b>0）上求一点P（x，y），使得它与另外两点A（2a，0），B（0，2b）构成的三角形△APB 的面积最小．

解　线段所在的直线方程为＝1，即bx＋ay＝2ab，点P（x，y）到该直线的距离(www.xing528.com)

设f（x）＝2ab－bx－ay＝2ab－bx－b（0≤x≤a），令f′（x）＝0，得唯一驻点x0＝a．由f（0）＝f（a）＝ab，f（x0）＝（2－）ab可知f（x0）最小，故点为所求．

7．A，B两厂在直河岸同侧，A沿河岸，B离河岸4km，A，B相距5km．今在河岸边建一水厂C，从水厂到B厂的每千米水管材料费为到A厂的倍，问C应选在何处，才能使所需费用最省？

解　设水厂C 离A 厂xkm，水厂C 到A 厂每千米水管材料费为常数ρ，总费用为Q，则

令Q′（x）＝0，得唯一驻点x＝1．又Q″（1）＝ρ＞0，所以x＝1为最小值点，故水厂建在离A 厂1km，离B 厂 2km 处所需费用最省．

8．设有一圆锥形蓄水池，高10m，底半径4m，水以速率5m3／min流进水池，求当水深5m 时水面上升的速率．（设锥顶点朝上）

解　设在时刻t时水深为h（t）m，水面半径为r（t）m，蓄水量为V（t）m3，则

由于，所以r＝（10－h），代入上式得

于是

将V′（t）＝5，h＝5代入上式，得h′（m／min）．

9．一盏高5m的路灯照在一个距灯3m远，从5m高处自由下落的球上，球的影子沿水平地面移动，求当球离地面3m 高时影子移动的速度（空气阻力忽略不计）．

解　沿地平面取为x轴、垂直向上为y轴建立直角坐标系xOy．设路灯位置为A（0，5），球的初始位置在B（3，5）（如右图所示）．

当球下落离地面为y时，影子距原点为x，则由三角形的相似关系，得x＝，两边对时间t求导得x′（t）＝·y′（t）．当y＝3时，有

解得又因为y′（t）＝－gt，故所求速度为

10．对不同的实数a，讨论方程xlnx＝a有几个实根．

解　设f（x）＝lnx－，则f′（x）＝

当a≥0时，f′（x）＞0，f（x）严格单增，又

此时，方程xlnx＝a有唯一实根．

当a＜0时，f′（－a）＝0，且x＝－a是唯一的极小值点，因而是最小值点，且

fmin＝f（－a）＝ln（－a）＋1

则a＝－时，方程有唯一实根；a＜－时，方程没有实根；－＜a＜0时，方程有两个实根．