高等数学试题分析(2017)单项选择题

1．设f（x）＝（x＋）cosx，则（　）

（A）f′（0）＝2　（B）f′（0）＝0

（C）f′（0）＝1　（D）f（x）在x＝0处不可导

解　因为

即f′－（0）≠f′＋（0），因此f（x）在x＝0处不可导，故选（D）．

2．设f 处处可导，则（　）

（A）当f′（x）＝＋∞时，必有f（x）＝＋∞

（B）当f（x）＝＋∞时，必有f′（x）＝＋∞

（C）当f′（x）＝－∞时，必有f（x）＝－∞

（D）当f（x）＝－∞时，必有f′（x）＝－∞

解　可采用排除法．取f（x）＝x，则f′（x）＝1，由此可得（B），（D）不成立；再取f（x）＝x2，则f′（x）＝2xf′（x）＝－∞，但f（x）＝＋∞，于是（C）也不成立，故选（A）．

也可直接证明（A）．由f′（x）＝＋∞可知存在a∈R，当x≥a时，f′（x）＞1．在区间［a，x］上对f（x）用Lagrange中值定理，有f（x）－f（a）＝f′（ξ）（x－a）（a＜ξ＜x），由此得到f（x）＞f（a）＋x－a，令x→＋∞，便得结论．

3．设f在［a，b］上连续，在（a，b）内可导，则（Ⅰ）在（a，b）内f′（x）≡0与（Ⅱ）在［a，b］上f（x）≡f（a）之间的关系是（　）

（A）（Ⅰ）是（Ⅱ）的充分但非必要条件

（B）（Ⅰ）是（Ⅱ）的必要但非充分条件

（C）（Ⅰ）是（Ⅱ）的充分必要条件

（D）（Ⅰ）是（Ⅱ）的既非充分也非必要条件

解　若f′（x）≡0，x∈（a，b），则f（x）在（a，b）内恒为常数k．又f在x＝a处连续，所以f（a）＝f（x）＝k，同理f（b）＝k．反之显然．因此选（C）．

4．设函数f 在［a，b］上连续，则f 在［a，b］上具有的性质是（　）

（A）存在ξ∈（a，b），使f（b）－f（a）＝f′（ξ）（b－a）

（B）存在ξ∈（a，b），使f′（ξ）＝0

（C）存在ξ∈［a，b］，使f（x）≤f（ξ），x∈［a，b］

（D）存在ξ∈（a，b），使f（x）＞f（ξ），x∈［a，b］

解　连续函数未必可导，故（A），（B）不真．闭区间［a，b］上的连续函数能在［a，b］上取得最大值和最小值，且可以在区间端点处取得，故选（C）．

5．若ab＜0，f（x）＝，则在（a，b）内使得f（b）－f（a）＝f′（ξ）（b－a）成立的ξ（　）

（A）至少有一个　（B）只有一个

（C）不存在　（D）是否存在与a，b有关

解　f′（0）不存在；x∈（a，0）∪（0，b）时f′（x）＝－＜0，从而

f′（ξ）（b－a）＜0　（ξ∈（a，b）且ξ≠0）

但是

故应选（C）．

6．设f，g在x0的某去心邻域内可导，且g′（x）≠0f（x）＝0＝g（x），则（Ⅰ）＝A 与（Ⅱ）＝A（其中A 为常数）之间的关系为（　）

（A）（Ⅰ）是（Ⅱ）的充分但非必要条件

（B）（Ⅰ）是（Ⅱ）的必要但非充分条件

（C）（Ⅰ）是（Ⅱ）的充分必要条件

（D）（Ⅰ）是（Ⅱ）的既非充分也非必要条件

解　根据L'Hospital法则的条件即知选（B）．

7．设f（x）在x＝a 处二阶可导，则＝（　）

（A）0　（B）f″（a）　（C）f″（a）　（D）∞

解　因为

故选（B）．

注　最后一步不能再用L'Hospital法则．（请考虑为什么？）

8．设＝2，则在x0处f（x）（　）

（A）可导且f′（x0）≠0　（B）不可导

（C）取得极小值　（D）取得极大值

解　由条件及极限的保号性知在x0的某去心邻域内

从而f（x）≥f（x0），故应选（C）．

9．函数f（x）＝（x＋1）｜x2－2x－3｜的不可导点的个数是（　）

（A）3　（B）2　（C）1　（D）0

解　因为f（x）的不可导点只能包含在函数

｜x2－2x－3｜＝｜x＋1｜·｜x－3｜

的两个不可导点x＝－1和x＝3中，又（x＋1）｜x＋1｜在x＝－1可导，所以不可导点只有1个．故选（C）．

10．已知函数y＝f（x）对一切x 满足

xf″（x）－2x［f′（x）］4＝e－x－1(www.xing528.com)

若x0（x0≠0）是f（x）的一个驻点，则（　）

（A）x0是f（x）的极小值点

（B）x0是f（x）的极大值点

（C）（x0，f（x0））是曲线的y＝f（x）的拐点

（D）x0不是f（x）的极值点，（x0，f（x0））也不是曲线y＝f（x）的拐点

解　因x0是f（x）的驻点，且f（x）可导，所以f′（x0）＝0．将x＝x0代入关系式，得

当x0＞0时，e－x0＜1，故f″（x0）＜0；当x0＜0时，e－x0>1，故f″（x0）＜0．因此x0是f（x）的极大值点，故选（B）．

注　当x0＝0时结论也成立，因为

11．设函数f（x），g（x）在［a，b］上可导，且f（x）g（x）≠0，又f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），则当a＜x＜b时，必有（　）

（A）f（x）g（x）＜f（a）g（a）　（B）f（x）g（x）＜f（b）g（b）

（C）　（D）

解　令F（x）＝，x ∈（a，b），则

所以F（x）在（a，b）上单调减少，于是F（x）＜F（a），故选（C）．

12．若曲线方程y＝＋arctan（1－），则（　）

（A）直线x＝0 为曲线的渐近线　（B）直线y＝为曲线的渐近线

（C）直线y＝－为曲线的渐近线　（D）曲线无渐近线

解　显然，所以x＝0不是曲线的渐近线；又因所以y＝－为曲线的水平渐近线．故选（C）．

13．设常数k＞0，则函数f（x）＝lnx－＋k在（0，＋∞）内零点个数为（　）

（A）3　（B）2　（C）1　（D）0

解　由f′（x）＝＝0得唯一驻点x＝e．当0＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）单增；当e＜x＜＋∞时，f′（x）＜0，f（x）单减．故x＝e是函数f的最大值点，最大值f（e）＝k＞0．又因为f（x）＝－∞，f（x）＝－∞，所以分别存在x1∈（e，＋∞），x2∈（0，e），使f（x1）＜0，f（x2）＜0，由连续函数的零点定理及f 的单调性可知f 有且仅有两个零点，分别在区间（x2，e）和（e，x1）内．故选（B）．

14．设F（x）＝其中f（x）是奇函数，且f′（0）＝1，则x＝0是F（x）的（　）

（A）连续点　（B）跳跃间断点

（C）第二类间断点　（D）可去间断点

解　因为f（x）是奇函数，所以f（0）＝0，又f′（0）＝1，于是

故选（D）．

15．设x→0时，etanx－ex与xn是同阶无穷小量，则n＝（　）

（A）1　（B）2　（C）3　（D）4

解　要使极限

为非零常数，必须n－1＝2，即n＝3，故选（C）．

16．设f（x）＝若f 在x＝0 处可导，则（　）

（A）a＝－1，b＝－1　（B）a＝1，b＝1

（C）a＝2，b＝2　（D）a＝2，b＝1

解　若f在x＝0处可导，则f（0－0）＝f（0），即a＝b；f′－（0）＝f′＋（0），即a＝1．所以a＝b＝1，故选（B）．

17．已知曲线y＝A（A＞0）与y＝ln在点P（x，y）有公共切线，则常数A 与点P 的坐标分别为（　）

解　因为P 是两条曲线的公共点，所以 A＝ln；又因为在P 点有公共切线，故．解得x＝e2，A＝，从而P 点的坐标为（e2，1），故选（A）．

18．设函数y＝y（x）由参数方程

所确定，则（　）

（A）y（x）在（0，ab3）内单调增加　（B）y（x）在（0，ab3）内单调减少

（C）曲线y（x）在（0，ab3）内向下凸　（D）曲线y（x）在（0，ab3）内向上凸

解　由参数方程求导法得，在t∈（0，b）时符号不定，故（A），（B）不对．又

所以选（D）．

19．设f（x）＝3x2＋x2｜x｜，则使f（n）（0）存在的最高阶导数的阶数n为（　）

（A）1　（B）3　（C）0　（D）2

解　因为

显然

不存在，所以选（D）．

20．设f′（x）连续，且＝3，则（　）

（A）f（0）＝－1，f′（0）＝　（B）f（0）＝－1，f′（0）＝－

（C）f（0）＝1，f′（0）＝　（D）f（0）＝1，f′（0）＝－

解　由于极限存在，所以由题设知

得f（0）＝－1，又

所以f′（0）＝，故选（A）．