填空题-高等数学试题分析(2017)|求f′（－1）结果

1．若函数f（x）在x＝a处可导，则＝________．

解　原式＝＝2f′（a）

2．［（sinx）x］′＝_________．

解　幂指函数求导可采用对数求导法．令y＝（sinx）x，两边取对数得

lny＝xlnsinx

两边对x 求导，得y′＝lnsinx＋x，解出y′，即得

［（sinx）x］′＝（sinx）x（lnsinx＋xcotx）

3．设函数y＝f（ln（x ＋）），其中f（u）为可微函数，则微分dy＝_________．

解　本题考查复合函数的微分运算法则．根据题意，可得

4．设y＝f（x2－y3），其中f 可微，则＝________．

解　本题考核隐函数求导法．这里x为自变量，y是x 的函数．令u＝x2－y3，方程两边对x 求导，得

解得

5．与直线x＋2y＝1平行的曲线＝9的切线方程为_________．

解　设切点为（x0，y0），方程＝9两端关于x求导得＝0，即y′＝－于是由题设可得

故所求切线方程为y－4＝－（x－1），即x＋2y＝9．

6．曲线在t＝所对应的点处的切线方程是________．

解　由复合函数求导法得

由于当t＝时，曲线上对应点的坐标为，该点处切线的斜率为

所以曲线在该点处的切线方程为x＋y＝

7．对数螺线r＝eθ在点（r，θ）＝处的切线的直角坐标方程为_________．

解　由极坐标与直角坐标的关系

得的对应点（x0，y0）＝（0，），又

所以切线方程为x＋y＝．

8．分别举出符合下列各题要求的一例，并将其填写在横线上：

（1）极限存在，但极限不存在的数列an＝________；

（2）极限f（x）与f（x）g（x）都存在，但极限g（x）不存在的函数f（x）＝________，g（x）＝________；

（3）在x＝0处导数不存在，但x＝0是极值点的连续函数f（x）＝________．

解　（1）an＝（－1）n；（2）f（x）＝x，g（x）＝sin；（3）f（x）＝．

9．若y＝，则y（n）（x）＝_________．

解　先将y分解得y＝，再根据高阶导数的求导法则分别求n阶导数，即得

10．设f（x）＝xn（x－1）ncos，则f（n）（1）＝________．

解　根据高阶导数的Leibniz公式，视（x－1）n为公式中的u，而视xncos为公式中的v．由于（x－1）n的n 阶导数为n！，不含因子x－1，而其余各项均含因子x－1，当x＝1时它们为0，故

11．设f（x）＝x（x＋1）（x＋2）…（x＋2012），则f′（－1）＝________．

解　本题考查乘积导数公式．记g（x）＝x（x＋2）…（x＋2012），于是

f（x）＝（x＋1）g（x）

得f′（x）＝（x＋1）g′（x）＋g（x），故f′（－1）＝g（－1）＝－2011！．

12．设函数y＝y（x）由方程y＝f（x＋y）确定，其中f（x）二阶可导，并且f′（x）≠1，则＝_________．

解　方程两边对x 求导得y′＝f′·（1＋y′），所以y′＝，此式两边再对x 求导，得

把y′＝代入上式，整理可得y″＝

13．当x→0时，f（x）＝sinx－是x 的_________（填数字）阶无穷小．

解　利用Taylor公式，有

因此填5．

14．设y＝sin（x4），则＝________．

解　本题考核一阶微分形式不变性．令u＝x3，则y＝根据一阶微分的形式不变性，得dy＝

另解　

15．极限的值等于_________．

解　应用等价无穷小因子的替换及L'Hospital法则，则

16．若f（x）具有连续的二阶导数，且＝2，则f″（0）＝________．

解　首先可知f（0）＝0，于是

所以，利用L'Hospital法则，得

17．函数f（x）＝esinx带Peano余项的二阶Maclaurin公式是_________．(www.xing528.com)

解　根据题意，可得

故f（x）＝1＋x＋x2＋o（x2）．

18．函数f（x）＝的极值点为________，曲线y＝f（x）的渐近线为_________．

解　因f′（x）＝，令f′（x）＝0，得x＝0，3．当x＜0时，f′（x）＞0；当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当1＜x＜3时，f′（x）＜0；当x＞3时，f′（x）＞0．可知只有x＝3是函数的极值点．由于＝∞，故曲线以x＝1为铅直渐近线；又

故曲线以y＝x＋2为斜渐近线．

19．设f（x）＝xe2x，则函数f（n）（x）的极小值点为x＝_________．

解　由Leibniz公式得

f（n＋1）（x）＝2n＋1xe2x＋（n＋1）2ne2x＝2n（2x＋n＋1）e2x

则

故x＝－是f（n）（x）的极小值点．

20．函数y＝在区间_________内单调增加．

解　令y′＝2x2－x－x22－xln2＝＝0，得驻点x＝0，x＝当x＜0时，y′＜0；当0＜x＜时，y′＞0；当x＞时，y′＜0．故函数在区间内单调增加．

21．曲线y＝14－9x－3x2－x3的下凸区间为________，上凸区间为________，拐点为_________．

解　由于y′＝－9－6x－3x2，y″＝－6（x＋1），令y″＝0，得x＝－1．当－∞＜x＜－1时，y″＞0；当－1＜x＜＋∞时，y″＜0．故下凸区间为（－∞，－1），上凸区间为（－1，＋∞）；当x＝－1时，y＝21，所以拐点为（－1，21）．

22．已知函数

若f′（x）在x＝0 处连续，则α 的取值范围是_________．

解　因为

所以当α＞1时，有

要使f′（x）在x＝0时连续，即使f′（x）＝f′（0）＝0，故有α＞2．

23．设y＝y（x）是由方程y＝1－xe2y所确定的隐函数，则y′（0）＝_________．

解　利用隐函数求导法则，得

y′＝－e2y－2xy′e2y

当x＝0时，y＝1，故

y′（0）＝－e2

24．曲线＝16在点（4，4）处的切线方程是________．

解　利用隐函数求导法，在＝16的等式两端对x求导，得

所以y′（4）＝－1，切线方程为x＋y＝8．

25．设函数f（x）＝若f（x）在x＝0处可导，则常数a＝_________，常数b＝________．

解　由于f（x）在x＝0处可导，则f（x）在x＝0处必连续，即

f（0－0）＝f（0＋0）

于是

a＝b，　f′－（0）＝a，　f′＋（0）＝1，　f′－（0）＝f′＋（0）

所以a＝b＝1．

26．设f′（x0）存在，则＝________．

27．函数f（x）＝10arctanx－3lnx 的极大值是________．

解　令

解得x1＝，x2＝3．当＜x＜3时，f′（x）＞0，当x>3时，f′（x）＜0，因此x＝3是极大值点，极大值为f（3）＝10arctan3－3ln3．

28．设y＝y（x）满足x2＋y2－yexy＝2，则曲线y＝y（x）在点（0，2）处的切线方程是________．

解　对方程x2＋y2－yexy＝2关于x 求导数，得

2x＋2yy′－y′exy－y（y＋xy′）exy＝0

代入（0，2）得y′＝，于是切线方程为4x－3y＋6＝0．

29．若曲线y＝x3＋ax2＋bx＋1有拐点（－1，0），则b＝________．

解　首先，将点（－1，0）代入曲线方程，得a＝b；其次y″＝6x＋2a，当x＝－1时，y″＝0，得a＝3．于是b＝3．

30．函数y＝ln（1－2x）在x＝0处的n阶导数y（n）（0）＝________．

解　根据Taylor公式，Taylor系数

31．曲线y＝的斜渐近线方程是_________．

解　因为

所以曲线的斜渐近线方程为y＝x－5．

32．抛物线y＝2x2－3x＋3在点（1，2）处的曲率K＝_________．

解　因为y′＝4x－3，y′（1）＝1，y″＝4，所以抛物线在点（1，2）处的曲率