最早精确圆周率：数学史话中的突破

科学家们都十分注意古代数学家为了获得圆周与直径之比(圆周率π)的近似值所作的努力，大约这是由于圆周率的精确程度足以衡量各个民族在各个时期数学的水平。

各文明古国在圆周率精确程度的研究上都作过重要的贡献，表现了他们的聪明才智。

4000年前，埃及人已经能应用不少数学知识解决实际问题，其中就用到圆周率π。因为在进行有关圆形和球形的器皿以及建筑物的计算需要用到它。人们从后来发现的埃及古代数学文献“纸草”中得知，当时取π＝3.16，这是世界上最早的圆周率。现在看来，π的这个近似值误差较大，但当时能算到这样的数值，已经很不容易了。

公元前250年左右，希腊数学家阿基米德利用圆的外切与内接96边形求得圆周率π的值必定在之间，即

这是第一次在科学中提供了误差的估计。

公元150年左右，希腊数学家托勒玫计算得到π＝3.1416。

六世纪印度数学家阿利耶毗陀利用倍边公式，，分别计算圆的外切与内接正384边形的周长，得到π＝3.1416。1585年以后，荷兰的数学家安托尼兹得到π＝或π≈3.1415929。

我国是世界文明发达最早的国家之一，对π的研究也有过重要的贡献。

《周髀算经》早有记载，圆径一而周三，也就是π＝3，叫做古率。公历纪元初年，汉朝的度量衡极不统一，给商业贸易带来不便。为了解决这个矛盾，朝廷命令数学家刘歆用金属铜制造了一种圆柱形的标准量器，名叫“律嘉量斛”。现在我国故宫博物院里还保存着一具这样的量斛。这种量斛是怎么计算出来的，没有找到记载，但根据斛上刻的说明，不难知道当时取π的近似值是π＝3.1547。

后汉张衡用＝3.1623表示π的值，这比印度数学家婆罗摩及多定圆周率为早500多年。

三世纪的刘徽和五世纪的祖冲之的工作更为突出，使我国在这方面的工作不仅赶上了欧洲人，而且还领先了1000年。可是我国古代数学家研究π的成果，直至19世纪初还未获得世界的确认。

傅路德指出：“在康熙时代，中国人完全依赖传教士南杯仁、汤若望等人的方法，直到这个所谓‘赤水遗珍’后来重新被发现为止。在世纪中期，王元启、钱塘等人依旧采用为圆周率。”

1833年，纳林说：“在这个古老的民族中纯粹科学一直处于低劣的状态。传教士们发现，在13世纪郭守敬称雄以前，他们认为圆周与直径之比正好是3：1……直到他们受到欧洲人的指导以前，没有前进一步。”纳林严重错评了中国人在求圆周率π方面的工作。由于他们的影响，致使这个错误广为流传。

中国古代数学家在圆周率π的研究上究竟有没有取得重大的成果；中国人的成果是依赖于欧洲人的指导和传教士的方法还是依靠自己的聪明才智，被历史掩盖了几百年的迷雾又是怎么产生和解脱的。这些都应作出正确的回答。

被历史掩盖了几百年的迷雾应该解开，历史是最好的见证人。

三国时魏人刘徽在注释《九章算术》一书时，看到“古率”周三径一很不满意。他证明了圆内接正六边形的周长是直径的三倍，说明周三径一实际上是圆的内接正六边形的周率，而不是圆周率。他进而创立了求圆周率准确值的方法——割圆术。为计算圆周率和圆面积建立了相当严密的理论和完善的算法。割圆术有下面五个要点：

1.圆内接正六边形的一边的长度等于半径的长度。

2.设圆的半径是R，圆内接正n边形的边长是an，圆内接正2n边形的边长是Zn。利用勾股定理，从圆的内接正n边形的边长an求出2n边形的边长为

上面的公式通常称为倍边公式。

3.设圆的半径是R，圆内接正n边形的边长是a2n，周长PN，面积是SN，圆内接正2N边形的面积是S2N，那么

S2N＜A＜S2N＋(S2N－SN)

4.设圆面积是WA，那么圆面积满足不等式(www.xing528.com)

S2N＜A＜S2N＋(S2N－SN)

这是一个重要的发现。利用它，在估计圆的面积时，就不要用圆外切正多边形的面积，而只要计算出圆内接正多边形的面积就可以了。因为计算圆外切正多边形的面积比计算内接正多边形要困难，所以用这种方法计算就简便得多。

5.“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”这就是说，圆内接正多边形的边数无限增加时，它的周长的极限是圆周长，它的面积的极限是圆面积。这说明了当时刘徽已有了极限的思想。刘徽设圆半径R为1，根据上述五个要点，从圆的内接正6边形入手，逐步推出正12边形，正24边形，……直到96边形每边的长，从而求得圆内接正192边形的面积，得到一个粗糙的值＝(3.14)。不过他还算出两个值，一个较小的值3.141024和一个较大的值3.142704，正确的数字在这两个值之间，即

3.141024＜π＜3.142704其中较大值3.142704比公元前250年前后阿基米德用正96＜/PGN0056.TXT/PGN＞边形求得的著名分数(≈3.1428)稍好一点。

以后刘徽继续争取具有更高精密度的结果，他演算到圆内接正3072边形。验证了前面的结果，并且得到他的最佳值π＝≈3.14159。这个数字比托勒玫在公元150年前后所采用的值好。刘徽还知道，如果有必要，他还可以继续演算下去。

刘徽取3.14为圆周率(这在当时使用已经足够了)，他还指出这个数还较真值小些，为了表彰他的功绩，人称3.14这个值为“徽率”。

刘徽的割圆术，为圆周率的研究工作奠定了坚实可靠的理论基础。在世界数学史上应当占有十分重要的地位。他所得到的结果当时在世界上也是十分先进的。但是，常有人猜想这是从西方传到东方来的。这是没有充分根据的。刘徽的方法和西方并不相像。这从以下两点可以看出：第一，希腊人用的方法除去一个内接正多边形以外，还有一个外切正多边形；第二，希腊人并不是通过计算圆面积来得到圆周率的。刘徽的计算方法具有中国人独特的优点。

南北朝时，祖冲之发展了刘徽的方法，在对π的研究中又出现了新的跃进。多数学者推测他从圆内接正6边形算起，一直算到圆内接正24576边形。每求一值，要把同一运算程序反复进行，而每一次运算程序中，又包括对九位数字的大数目进行12次加减乘除及开方等11个步骤，最后求出了3.1415926＜π＜3.1415927，也就是π＝3.1415926……。

祖冲之是突破刘徽以后研究π值的杰出人物，是世界上第一个定圆周率到第7位小数的人。他的方法记载在他的数学著作《缀术》一书里。祖冲之还曾推出两个近似于π的分数值。一个是＝3.142857，数称为“约率”，或称“疏率”，它比π的真值大。另一个是＝3.1415929……，这个数称为“密率”，它比π约大0.0000002。用这样一个接近于π的简单分数来表示π，的确是祖冲之的惊人发现。在祖冲之发现“密率”后1000多年，欧洲人安托尼兹才重新发现了这个值。

公元1300年前后，元代赵友钦重复了这个问题的研究。他从圆内接正4边形开始，陆续增加到16384边形，证实了祖冲之的数值是十分精确的。他的方法被记载在他的著作《革象新书》上。

祖冲之的伟大贡献，使中国对π值的计算领先了1000年，它标志着中国古代高度发展的数学水平。十分遗憾的是，“学官莫能究其深奥，是故废而不理。”《缀术》一书后来竟在11世纪失传。宋代(13世纪)以前的早期数学著作也都无可挽回地散失了。因此当耶稣令传教士走上历史舞台时，甚至没有人能够把中国过去数学上的光辉成就告诉他们。直至18世纪，人们从公元656年修的《隋书·律历志》中，得知了《缀术》这部书及其祖冲之取得的结论。人们进一步得知，在《律历志》校刘歆“斛铭”及校北周武帝保定元年(公元561年)“玉斗”时，均已使用祖冲之的圆周率π＝3.14159265……。在宋代沈括也对它发生了兴趣，并且他在《梦溪笔谈》中讨论过它。从此“赤水遗珍”重新发现，直到我们这个时代，历史的迷雾完全解开，中国人在求圆周率π方面的工作才得到人们的应有重视。

自从我国古代灿烂的科学文化逐渐得到世界公认之后，日本数学史家三上义夫建议把“密率”()称为“祖率”，以纪念祖冲之的杰出贡献。

这种叫法在解放后已通行于全国。

在此，还要提一下，在世界各地圆周率π的值研究发展情况。

17世纪以前，世界各国对圆周率的研究工作仍限于利用圆的外切和内接正多边形来进行。

1427年，伊朗数学家阿尔·卡西，计算π到16位小数准确，从而打破了祖冲之保持了近千年的纪录。

1596年，德国数学家鲁道夫准确计算π的值到35位小数，标志着研究π的一个历史阶段的结束。为求π的更精确的值需另辟途径。

17世纪以后，随着微积分和解析几何的出现，数学家开始用反正切函数值来表示π。人们还利用无穷级数来求π值。瑞士数学家欧拉就用比较简单的无穷级数来表示π2、π3。他利用微分学的知识证明了

应用上述公式可以算出π的值。

1874年，英国数学家贤可士利用级数算到小数707位。电子计算机出现以后，1949年，美国有人用电子计算机算到小数2036位，用时70小时。而现在计算π值到小数万位，已仅是几小时的事了。科学在发展，技术在进步，历史在前进，古代科学的发展是几乎无法同现代科学取得丰富而有效的进步相比的。因此，我们不能用现代数学的尺度去衡量中国古代圆周率π计算方面的贡献。应当把自己置身于迈出最初几步的那些人的地位，努力了解这对于他们在当时是何等的困难，对于现代所取得的进展又是何等的重要。这就是历史唯物主义的态度。