出入相补原理：数学史话中的立方根求法

我国古代几何学不仅有悠久的历史，丰富的内容，重大的成就，而且有一个具有我国自己的独特风格的体系，和西方的欧几里得体系不同。这一几何体系的全貌还有待于发掘清理，本文仅就出入相补原理这一局部方面，就所知提出几点，主要是根据流传至今的以下各经典著作：

《周髀算经》(简称《周髀》)，《九章算术》(简称《九章》)，刘徽《九章算术注》(简称《刘注》)，《海岛算经》(简称《海岛》)，赵爽《日高图说》和《勾股圆方图说》(简称《日高说》和《勾股说》)。田亩丈量和天文观测是我国几何学的主要起源，这和外国没有什么不同，二者导出面积问题和勾股测量问题。稍后的计算容积、土建工程又导出体积问题。

我国古代几何学的特色之一是，依据这些方面的经验成果，总结提高成一个简单明白、看起来似乎极不足道的一般原理——出入相补原理，并且把它应用到形形色色多种多样的不同问题上去。

以下将列举这些不同的应用。

所谓出入相补原理，用现代语言来说，就是指这样的明显事实：一个平面图形从一处移置他处，面积不变。又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单的相等关系。立体的情形也是这样。

应用这一原理，容易得出三角形面积等于高底相乘积的一半这一通常的公式，由此以定任意多角形的面积。作为另一简单实例，如果看作把△ACD移置△ACB，又把Ⅰ、Ⅱ各移到Ⅰ′、Ⅱ′，那么依出入相补原理有：

Ⅲ＝Ⅲ′，□PC＝□BO……(指面积相等)由此得

PO×OS＝RO×OQ，PQ×QC＝RB×BC……而PO＝AR，OS＝QC，PQ＝AB，

RB＝OQ……因而AR：OQ＝RO∶QC，AB∶OQ＝BC∶QC……就是相似勾股形ABO和OQC、ABC和OQC的相勾股成比例。并且可以导出其他相应部分的比例关系。以上这些极简单的结果虽然没有在《九章》中明白说出，但是曾经多处用这些关系来解决各种具体问题。

在《周髀》中，就有用两表测日影以求日高的方法，计算的公式是：

其中A是日，BI是地平面，ED、GF是先后两表，DH和FI是日影。《海岛》改测日高为测海岛的高，同图AB是海岛，H、I是人目望岛顶和两表上端相参合的地方，于是日高公式成为：

明末耶稣会传教士利玛窦(1552～1610)来我国，他的主要学术工作之一是介绍欧几里得几何体系。他曾口授《测量法义》一书，其中载有和海岛题完全类似的一题。在他所作的证明中，需要在FI上取一点M使(4)式成立，再用比例理论作证。按常理来说，利玛窦应该作平行线而取M′使FM′＝DH，但是他一反欧几里得惯例而和我国古代传统不谋而合，颇使人迷惑不解。

在《周髀》和《九章》中，都已经明确给出了勾股定理的一般形式：勾2＋股2＝弦2。虽然原证不传，但是据《勾股说》以及《刘注》，都依出入相补原理证明，并且有遗留到现在可以用来作证的赵爽残图，这几方面互相参照，原证应该大致如下：

勾股形是ABC，BCED是勾方，EFGH是股方，把二者的和DBCFGH中的△IBD移到△ABC，△GIH移到△GAF，就得到ABIG＝弦2，由此就得到勾股定理。欧几里得《几何原本》中勾股定理的证明，其中要先证有关三角形全等形以及三角形面积的一些定理，为此要作不少准备工作，因而在《几何原本》中直到卷一之末出现这一定理，而在整个《几何原本》中几乎没有用到。而在我国，勾股定理在《九章》中已经有多种多样的应用，成为2000来年数学发展的一个重要的出发点。

在东西方的古代几何体系中，勾股定理所占的地位是颇不相同的。勾、股、弦和它们之间的和差共九个数，只须知道其中的二个就可以求得其他几个。

除勾、股、弦互求就是开方之外，《九章》勾股章中有不少这方面的问题：

第一，知股弦差、勾，求股、弦(五题)；

第二，知勾股差、弦，求勾、股(一题)；

第三，知股弦差、勾弦差，求勾、股、弦(一题)；

第四，知股弦和、勾，求股、弦(一题)。

各题都列出了一般公式，《勾股说》的许多命题也属这一类，《刘注》还给出了证明，公式的来历和证明的方法都依据出入相补原理，有的也用比例作别证。(www.xing528.com)

事实上，《周髀》中已经给出了若干具体数目的平方根，而在《九章》中，更详细说明了开平方的具体方法步骤。这一方法的根据是几何的，就是出入相补原理。

试以求55225的平方根为例。这相当于已知正方形ABCD的面积就是55225，求边AB的长，。按我国记数用十进位位值制。因AB显然是一个百位数，所以求AB的方法就是依次求出百位数字、十位数字和个位数字。先估计(《九章》中用“议”字)百位数字是2，因而在AB上截取AE＝200，并且作正方形AEFG，它的边EF的两倍称为“定法”。把AEFG从ABCD中除去，所余曲尺形EBCDGF的面积是55225－2002＝15225。其次估计十位数字是3，在EB上截取EH＝30，并且补成正方形AHIJ。从AEFG所增加的曲尺形EHIJGF可以分解成三部分：FH，FJ，FI，面积依次是30×EF，30×FG，302，其中EF＝FG＝200，所以从ABCD中除去AHIJ，所余曲尺形HBCDJI的面积是15225－(2×30×200＋302)＝2325。

现在再估计个位数字是5，在HB上截取HK＝5，并补作正方形AKLM，从ABCD中除去AKLM后所余曲尺形面积和前同法应该是

2325－(2×5×230＋52)＝0。

由此知K和B的平方根恰好是235。

求立方根的方法步骤和这相似，但是要把一立方体逐步进行分解，比平方根求法稍复杂，所依据的仍是出入相补原理，这在《九章》中也有详细叙述。

我国开平立方法来源很古，它的几何本质十分清晰，而且方法上可以看出我国独有而世界古代其他民族所无的位值制记数法的高度优越性。不仅这样，至迟到11世纪中叶，我国就已经把开平立方法推广到开任何高次幂，就是所谓“增乘开方法”，并且出现了有关的二项式定理系数表，就是所谓“开方作法本源图”。从这一方法的几何渊源看来，如果说当时我国数学家已经有高维方体和高维几何的稚影，似乎不是全无根据的。

下面的例取自《九章》，ABCD是一方城，出北门北行若干步到G有木，出南门南行若干步到F再西行若干步到H，恰可望见木G，问题是求方城每边的长。据《刘注》的方法是依山入相补原理得

ET＝2EG＝2KG＝2×北步×西步为实，以“南步＋北步”为从法，开平方除之，得EI，也就是方城边长。

不仅应用开平方法可得问题(A)的数值解，而且应用出入相补原理，还可以求得解答的精确表达式。如果以长方形的阔作为勾，长作为股，那么问题(A)相当于：

(C)已知勾股积、勾股差，求勾、股。

大小两正方形的边长各是勾股和、勾股差，所以得

勾股和2＝4×勾股积＋勾股差2。

由此得勾股和，因而得勾和股。同样也可从勾股和、勾股积求得勾和股，这一方法可以参阅《勾股说》的末一命题。

宋元时期明确引入了未知数的概念。如果以x(当时称为天元一)表长方形阔，那么问题(A)相当于解一个二次方程x2＋ax＝b，其中a相当于从法，b相当于实。所以在古代实质上已经给出了这一形式二次方程(a，b都是正数)的近似解和精确解，前者在宋元时期发展为求任意高次方程的数值解法，后者虽文献散佚不可查考，但是据唐初王孝通的著作以及史书关于祖冲之的引述看来，不能排除我国曾经对三次方程用几何方法求得精确表达的可能性。在其他各国，公元九世纪的时候，阿拉伯数学家花刺子模(约780～约850)的代数学名著中列举了各种类型二次方程的精确解法，它的方法是几何的，它的精神实质和出入相补原理颇相类似。公元16世纪，意大利数学家关于三次方程的解法，也完全是几何的。

如果规定长方形的面积是长阔的积，那么依据出入相补原理，容易得到：

(1)三角形面积＝×高×底

由此可以完全奠定平面多角形的面积理论。但是在空间情形，如果规定长方体的体积是长、广、深的积，是否依据出入相补原理，可以推得

(2)四面体体积＝×高×底面面积

由此以建立多面体的体积理论，就不是那么明显而极其困难的问题。欧洲直到19世纪末，才把它作为一个难题明确地提了出来。公元1900年德国数学家希耳伯特(1862～1943)在国际数学会上所作著名讲演中，把体积理论列为23个问题之一。这一问题立即为德恩(1878～1852)所解决，答案是否定的：两个多面体要分割成彼此重合的若干多面体，必须满足某些条件，通称德恩条件。自此以后直到1965年，一位瑞士数学家西德勒才证明了德恩条件也是充分的。但是问题决不能认为已经彻底解决。从希耳伯特直到晚近，多面体体积理论仍不断成为一些知名数学家研讨的课题。德恩条件叙述复杂，也难认为是合宜的最后形式。