高等数学应用：二重积分的概念

引例1　曲顶柱体的体积

设有一立体,它的底是xOy 平面上的闭区域D.它的侧面是以D 的边界为准线,母线平行于z 轴的柱面.它的顶是曲面z=f(x,y),这里f(x,y)≥0 且在闭区域D 上连续(见图9.1).这种立体称为曲顶柱体.现在来求这个曲顶柱体的体积V.

图9.1

图9.2

已知平顶柱体的高是不变的,它的体积=底面积×高. 对曲顶柱体,当点(x,y)在区域D上变动时,高度f(x,y)是个变量.因此,它的体积不能直接利用上式计算.参照定积分中求曲边梯形面积的方法,采用分割、近似、求和、取极限来解决曲顶柱体的体积问题. 其具体步骤如下:

1.分割

将区域D 任意分成n 个小区域

且以Δσi 表示第i 个小区域的面积.这样,就把曲顶柱体分成了n 个小曲顶柱体.以ΔVi 表示以Δσi 为底的第i 个小曲顶柱体的体积(见图9.2),V 表示以区域D 为底的曲顶柱的体积,可得

2.近似

对每个小曲顶柱体,当Δσi 很小,因f(x,y)是连续的,故在同一个小区域上的高度f(x,y)的变化也很小,小曲顶柱体近似地看成平顶柱体.在Δσi 上任取点(ξi,ηi),于是小曲顶柱体的体积可用以Δσi 为底、 f(ξi,ηi)为高的平顶柱体的体积近似代替,即

3.求和

n 个小曲顶柱体体积的近似值之和等于曲顶柱体体积的近似值,即

4.取极限

对区域D 的分割越来越细,小区域Δσi 越来越小,近似值越逼近体积真值.当所有小区域Δσi(i=1,…,n)中的最大直径λ→0 时,取上式和的极限.若和式的极限存在,这个极限值就定义为曲顶柱体的体积V,即

(区域的直径是指有界闭区域上任意两点间的最大值)

引例2　非均匀平面薄板的质量

如果薄片是均匀的,其面密度是常数,则(www.xing528.com)

设有一非均匀平面薄板,在平面xOy 上占有闭区域D,其面密度ρ(x,y) ＞0,且在闭区域D上连续.如何计算该薄板的质量M?

图9.3

因面密度ρ(x,y)是变量,质量不能直接利用上式计算.但是,引例1 用来处理曲顶柱体体积的方法也适用于质量的计算.

任意分割薄板(区域D)为n 个小块Δσi(小闭区域),ρ(x,y)是连续函数,只要小块所占的闭区域Δσi 的直径很小,这小块就可近似地看成均匀薄片.在Δσi 上任取一点(ξi,ηi),则

可看成第i 个小块的质量近似值(见图9.3).

通过求和、取极限(令n 个小区域Δσi 的最大直径λ→0),若极限存在,极限值便是薄板的质量,即

上面两个问题的实际意义虽然不同,但所使用的数学方法却是一样的,并且都归结为求同一形式的和式的极限.抽去问题的实际背景,得到二重积分的定义.

定义9.1　设f(x,y)是定义在有界区域D 上的有界函数,将D 任意分成n 个小闭区域

其中,Δσi 表示第i 个小闭区域,也表示它的面积.在每个Δσi 中任取一点(ξi,ηi),作乘积

其中,D 称为积分区域,f(x,y)称为被积函数,dσ 称为面积元素,x 和y 称为积分变量.

若函数f(x,y)在区域D 上的二重积分存在,则称f(x,y)在区域D 上可积.

可以证明,若函数f(x,y)在有界闭区域D 上连续,则f(x,y)在D 上可积.

由二重积分定义可知,曲顶柱体的体积是函数f(x,y)在D 上的二重积分

(二重积分与定积分的几何意义相仿,只是将面积值改为体积值)

平面薄板的质量是它的面密度ρ(x,y)在薄板所占闭区域D 上的二重积分