方向导数与梯度-高等数学及其应用（下）

偏导数反映的是函数沿坐标轴方向的变化率,但许多问题需要考虑沿其他方向函数的变化率.例如,高温物体沿各个方向的热传导,向某个方向温度变化快慢的研究;气象学中,要研究确定大气温度、气压沿着某些方向的变化率;某一高度的山岥沿各个方向陡峭的变化情况,确定哪个方向的变化率最大等.这就是指定方向的变化率的问题.

1.方向导数的概念

函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处沿方向l 的变化率,称为方向导数.

2.方向导数的计算

定理8.7　如果函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)可微分,则函数在该点沿任一方向l 的方向导数存在,且有

其中,cos α,cos β 是方向l 的方向余弦.

推广　如果函数f(x,y,z)在点(x0,y0,z0)可微分,则函数在该点沿着方向l 的方向导数都存在.其中,cos α,cos β,cos γ 是方向l 的方向余弦,即

例11　求函数z=xe2y在点P(1,0)沿从点P(1,0)到点Q(2,-1)的方向导数.解　因与l 同向的单位向量为

故所求方向导数为

3.梯度的概念

设函数z=f(x,y)在平面区域D 内具有一阶连续偏导数,则对每一点P0(x0,y0)∈D,都可确定一个向量

此向量称为函数f(x,y)在点P0(x0,y0)的梯度,记作gradf(x0,y0),即

推广　设函数w=f(x,y,z),有

4.梯度与方向导数的关系

如果函数f(x,y)在点P0(x0,y0)可微分,el =(cos α,cos β)是与l 同方向的单位向量,则

(θ 为向量el 与gradf(x0,y0)的夹角)

习题8.4(www.xing528.com)

1.求下列空间曲线在指定点处的切线和法平面方程:

2.求出曲线x=t,y=t2,z=t3 上的点,使得该点的切线平行于平面x+2y+z=4.

3.求下列曲面在指定点的切平面与法线方程:

4.求曲面x2 +2y2 +3z2 =21 上平行于平面x+4y+6z=0 的切平面方程.

5.求下列函数的极值:

6.用拉格朗日乘数法求下列条件极值的可疑极值点,并用无条件极值的方法确定是否取得极值.

(1)目标函数z=xy,约束条件x+y=1;

(2)目标函数u=x-2y+2z,约束条件x2 +y2 +z2 =1.

7.将一个正数a 分为3 个正数之和,使得它们的乘积最大.

8.造一个容积为27 m3 的长方体水箱,应如何选择水箱的尺寸可使得用料最省?

9.求内接于半径为R 的球且体积最大的圆柱体的高.

10.求下列方向导数:

(1)函数z=x2 -y2 在点(1,1)处,沿与x 轴正向成60°角的方向l 的方向导数;

【验证性实验】

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