高数应用：隐函数偏导

仅就一个方程确定的隐函数的情形加以讨论.

隐函数存在定理:

(1)设函数F(x,y)在点P(x0,y0)的某一邻域内具有连续偏导数

则方程F(x,y) =0 在点(x0,y0)的某一邻域内能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y=f(x),它满足条件y0 =f(x0),且有

(2)设函数F(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内具有连续的偏导数,且

则方程F(x,y,z) =0 在点(x0,y0,z0)的某一邻域内能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z=f(x,y),它满足条件z0 =f(x0,y0),且有

隐函数存在性的证明略.仅就(2)中偏导数结论部分,推导如下:

将z=f(x,y)代入F(x,y,z) =0,得F[x,y,f(x,y)] =0,由复合函数链式法,两端分别对x和y 求导,得

因为Fz 连续且Fz(x0,y0,z0)≠0,所以存在点(x0,y0,z0)的一个邻域,使Fz≠0,于是得

例11　设y=f(x)是由x2 +y2 -1 =0 所确定的隐函数,并求y′(0).(www.xing528.com)

解　设F(x,y) =x2 +y2 -1,因为

解　设F(x,y) =sin y+ex -xy2 -1,因为

所以

习题8.3

1.用链式法则求下列复合函数的偏导数或导数,并将中间变量代入复合函数后再对自变量求导来验证所得的结果:

2.求下列复合函数的偏导数及全微分,其中f 是可微函数:

5.设函数f 有二阶连续的导数或偏导数,求下列函数的二阶偏导数:

6.求下列由方程所确定的隐函数的导数或偏导数:

7.求由下列方程所确定的函数z=f(x,y)的全微分: